Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB tại E và cắt AC tại F. Gọi H là giao điểm của BF và CE.
a) Chứng minh rằng bốn điểm A, E, H, F cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi I là trung điểm của AH. Chứng minh rằng \(OI \bot EF\).
c) Gọi D là giao điểm của AH với BC. Chứng minh rằng : HA.HD = HB.HF = HC.HE
d) Chứng minh rằng IF là tiếp tuyến của đường tròn (O).
e) Chứng minh rằng H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
a) Sử dụng tính chất : Tam giác vuông nội tiếp đường tròn với đường kính là cạnh huyền.
b) Chứng minh \(OI\) là đường trung trực của \(EF\), sử dụng tính chất : Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì thuộc trung trực của đoạn thẳng đó.
c) Chứng minh các tam giác đồng dạng.
d) So sánh, cộng góc, chứng minh \(\angle OFI = {90^0}\).
e) Chứng minh \(H\) là giao điểm của 2 đường phân giác của tam giác \(DEF\).
a) Vì \(\angle AEH = \angle AFH = {90^0} \Rightarrow E,\,\,F\) cùng thuộc đường tròn đường kính AH.
Vậy bốn điểm \(A,\,\,E,\,\,H,\,\,F\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH\).
b) I là trung điểm của \(AH \Rightarrow I\) là tâm đường tròn đường kính \(AH\).
Mà \(E,\,\,F\) cùng thuộc đường tròn đường kính AH (cmt) \( \Rightarrow IE = IF \Rightarrow I\) thuộc đường trung trực của \(EF\).
Ta có \(OE = OF \Rightarrow O\) thuộc trung trực của \(EF\).
Do đó \(OI\) là trung trực của \(EF \Rightarrow OI \bot EF\).
c) Xét \(\Delta HBE\) và \(\Delta HCF\) ta có:
\(\angle HBE = \angle HCF\)(cùng phụ với \(\angle BAC\))
\(\angle BHE = \angle CHF\) (đối đỉnh)
\( \Rightarrow \Delta HBE \sim \Delta HCF\,\,\left( {g.g} \right) \)
\(\Rightarrow \dfrac{{HB}}{{HC}} = \dfrac{{HE}}{{HF}} \)
\(\Rightarrow HB.HF = HC.HE\,\,\left( 1 \right)\).
Xét \(\Delta HAF\) và \(\Delta HBD\) có :
\(\angle AHF = \angle BHD\) (đối đỉnh) ;
Advertisements (Quảng cáo)
\(\angle AFH = \angle BDH = {90^0}\) ;
\( \Rightarrow \Delta HAF \sim \Delta HBD\,\left( {g.g} \right) \)
\(\Rightarrow \dfrac{{HA}}{{HB}} = \dfrac{{HF}}{{HD}}\)
\(\Rightarrow HA.HD = HB.HF\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow HA.HD = HB.HF = HC.HE\).
d) Xét \(\Delta OBF\) có \(OB = OF \Rightarrow \Delta OBF\) cân tại \(O \Rightarrow \angle OFB = \angle OBF\).
Mà \(\angle OBF = \angle CAD\) (cùng phụ với \(\angle ACB\))
\( \Rightarrow \angle OFB = \angle CAD\).
Xét tam giác vuông \(AFH\) có trung tuyến \(IF\) ứng với cạnh huyền \(AH \Rightarrow IF = IH = IA\)
\(\Rightarrow \Delta IFH\) cân tại \(I \Rightarrow \angle IFH = \angle IHF\).
\( \Rightarrow \angle IFH + \angle OFH = \angle IHF + \angle CAD \)
\(\Rightarrow \angle OFI = {90^0}\) \(\Rightarrow IF \bot OF\) tại \(F\).
Mà \(OF\) là bán kính của \(\left( O \right)\) nên \(IF\) là tiếp tuyến tại \(F\) của đường tròn \(\left( O \right)\).
e) Ta có : \(HB.HF = HC.HE\,\,\left( {cmt} \right)\)
\(\Rightarrow \dfrac{{HB}}{{HC}} = \dfrac{{HE}}{{HF}}\).
Xét \(\Delta HBC\) và \(\Delta HEF\) có :
\(\angle BHC = \angle EHF\) (đối đỉnh) ;
\(\dfrac{{HB}}{{HC}} = \dfrac{{HE}}{{HF}}\,\,\left( {cmt} \right)\) ;
\( \Rightarrow \Delta HBC \sim HEF\,\,\left( {c.g.c} \right) \)
\(\Rightarrow \angle HEF = \angle HBC;\,\,\angle HFE = \angle HCB\).
Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được
\(\Delta HED \sim \Delta HAC\,\,\left( {c.g.c} \right) \)
\(\Rightarrow \angle HED = \angle HAC\).
\(\Delta HFD \sim \Delta HAB\,\,\left( {c.g.c} \right)\)
\(\Rightarrow \angle HFD = \angle HAB\).
Lại có \(\angle HBC = \angle HAC\) (cùng phụ với \(\angle ACB\))
\(\angle HCB = \angle HAB\) (cùng phụ với \(\angle ABC\))
\( \Rightarrow \angle HEF = \angle HED \Rightarrow HE\) là phân giác của \(\angle DEF\) (3).
\(\angle HFE = \angle HFD \Rightarrow HF\) là phân giác của \(\angle EFD\) (4).
Từ (3) và (4) \( \Rightarrow H\) là giao điểm 2 đường phân giác của \(\Delta DEF \Rightarrow H\) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta DEF\).
Baitapsgk.com