Bài 6 trang 148 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1: Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O ; R) vẽ tiếp tuyến MA, MB...

Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O ; R) vẽ tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MEF với (O) (A và B là hai tiếp điểm ; ME < MF ; tia MF nằm giữa hai tia MA, MO).

a) Chứng minh rằng OM là trung trực của AB.

b) Gọi I là trung điểm của EF. Đường thẳng MA cắt đường thẳng OI tại D ; OA cắt MI tại K. Chứng minh rằng $DK \bot MO$.

c) Gọi H là giao điểm của AB với MI. Tính đoạn HI khi tam giác MAB đều và $OI = \dfrac{R}{2}$.

a) Sử dụng tính chất : Điểm cách đều 2 đầu mút của đoạn thẳng thì thuộc trung trực của đoạn thẳng đó.

b) Chứng minh K là trực tâm của tam giác ODM.

c) Tính OG, chứng minh $\Delta OHI = \Delta OHG \Rightarrow HI = HG$.

Chứng minh $\Rightarrow \Delta MGH \sim \Delta MIO\,\,\left( {g.g} \right)$, suy ra tỉ số đồng dạng, sử dụng định lí Pytago và các hệ thức lượng trong tam giác vuông tính OM, MG, từ đó tính HG và suy ra HI.

a) Ta có : $MA = MB$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) $\Rightarrow M$ thuộc trung trực của $AB$.

$OA = OB = R \Rightarrow O$ thuộc trung trực của $AB$ .

$\Rightarrow OM$ là trung trực của $AB$.

b) Vì I là trung điểm của EF $\Rightarrow OI \bot EF$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

Xét tam giác ODM có :

$\left\{ \begin{array}{l}MI \bot OD\\OA \bot MD\\OA \cap MI = K\end{array} \right.$ $\Rightarrow K$ là trực tâm của $\Delta ODM \Rightarrow DK \bot OM$.

c) Gọi $G = OM \cap AB$ $\Rightarrow G$ là trung điểm của $AB$.

Do $\Delta MAB$ đều $\Rightarrow$ trung tuyến $MG$ đồng thời là phân giác $\Rightarrow \angle AMG = \dfrac{1}{2}\angle AMB = \dfrac{1}{2}{.60^0} = {30^0}$.

$\Rightarrow \angle AOM = {60^0}$ $\Rightarrow OG = OA.\cos {60^0} = \dfrac{R}{2} = OI$.

 Xét tam giác vuông OHI và tam giác vuông OHG có :

$\begin{array}{l}OH\,chung\\OI = OG\,\,\left( {cmt} \right)\end{array}$

$\Rightarrow \Delta OHI = \Delta OGI$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

$\Rightarrow HI = HG$ (2 cạnh tương ứng).

Xét tam giác vuông OAM có : $\sin {30^0} = \dfrac{{OA}}{{OM}}$ $\Rightarrow OM = \dfrac{{OA}}{{\sin {{30}^0}}} = \dfrac{R}{{\dfrac{1}{2}}} = 2R$

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OAM có $AM = \sqrt {O{M^2} - O{A^2}}  = \sqrt {{{\left( {2R} \right)}^2} - {R^2}}  = R\sqrt 3$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAM có : $M{A^2} = MO.MG$

$\Rightarrow MG = \dfrac{{M{A^2}}}{{MO}} = \dfrac{{3{R^2}}}{{2R}} = \dfrac{{3R}}{2}$.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OIM có $I{M^2} = O{M^2} - O{I^2} = {\left( {2R} \right)^2} - {\left( {\dfrac{R}{2}} \right)^2} = \dfrac{{15R}}{4}$

$\Rightarrow IM = \dfrac{{R\sqrt {15} }}{2}$

Xét tam giác vuông MGH và tam giác vuông MOI ta có :

$\angle OMI$ chung ;

$\angle MGH = \angle MIO = {90^0}$

$\Rightarrow \Delta MGH \sim \Delta MIO\,\,\left( {g.g} \right) \\\Rightarrow \dfrac{{HG}}{{OI}} = \dfrac{{MG}}{{MI}} \\\Rightarrow HG = \dfrac{{OI.MG}}{{MI}} = \dfrac{{\dfrac{R}{2}.\dfrac{{3R}}{2}}}{{\dfrac{{R\sqrt {15} }}{2}}} = \dfrac{{R\sqrt {15} }}{{10}}$

Vậy $HI = \dfrac{{R\sqrt {15} }}{{10}}$.

 Baitapsgk.com