Bài 5 trang 148 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1: Từ điểm A ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC...

Từ điểm A ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C là hai tiếp điểm). Kẻ đường kính CD của (O).

a) Chứng minh rằng BD//AO.

b) AD cắt đường tròn (O) tại E (A, E, D theo thứ tự). Chứng minh rằng $A{B^2} = AE.AD$.

c) Vẽ $BH \bot DC$ tại H. Gọi I là trung điểm của BH. Chứng minh rằng ba điểm A, I, D thẳng hàng.

a) Ta có : $AB = AC$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) $\Rightarrow A$ thuộc trung trực của $BC$.

$OB = OC = R \Rightarrow O$ thuộc trung trực của $BC$ .

$\Rightarrow OA$ là trung trực của $BC \Rightarrow OA \bot BC$.

Có $B$thuộc đường tròn đường kính $CD \Rightarrow \Delta BCD$vuông tại $B \Rightarrow BD \bot BC$.

$\Rightarrow BD//AO$ (từ vuông góc đến song song).

b) Do $E$ thuộc đường tròn đường kính $CD \Rightarrow \Delta ECD$ vuông tại $E \Rightarrow CE \bot AD$.

Xét $\Delta ACE$ và $\Delta ADC$ có:

$\begin{array}{l}\angle CAD\,\,chung;\\\angle AEC = \angle ACD = {90^0}\end{array}$

$\Rightarrow \Delta ACE \sim \Delta ADC\,\,\left( {g.g} \right)$

$\Rightarrow \dfrac{{AC}}{{AD}} = \dfrac{{AE}}{{AC}}$ $\Rightarrow A{C^2} = AE.AD$.

Mà $AB = AC\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow A{B^2} = AE.AD$.

c) Kéo dài BD cắt AC tại F.

Ta có : $OA \bot BC;\,\,BD \bot BC$ $\Rightarrow OA//BD$ hay $OA//DF$.

Xét tam giác CDF có :

O là trung điểm của BD ;

$OA//DF$ ;

$\Rightarrow A$ là trung điểm của $FC \Rightarrow AC = AF$ (tính chất đường trung bình của tam giác).

Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}BH \bot AD\,\,\left( {gt} \right)\\AC \bot AD\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BH//AC$.

Gọi $I’ = AD \cap GH$.

Áp dụng định lí Ta –lét ta có : $\dfrac{{BI’}}{{AF}} = \dfrac{{DI’}}{{DA}} = \dfrac{{I’H}}{{AC}}$.

Mà $AF = AC\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow I’$ là trung điểm của $BH \Rightarrow I’ \equiv I$.

Vậy $A,I,D$ thẳng hàng.

 Baitapsgk.com