Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau:
a) \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y = 3\\x + 2y = 1\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}4x - y = 8\\x - \dfrac{1}{4}y = 2\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}4x + 2y = 1\\2x + y = 2\end{array} \right.\)
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y = {c_1}\\{a_2}x + {b_2}y = {c_2}\end{array} \right.\)
\({a_1}x + {b_1}y = {c_1} \Rightarrow y = \dfrac{{ - {a_1}}}{{{b_1}}}x + \dfrac{{{c_1}}}{{{b_1}}}\,\,\left( {{d_1}} \right);\,\,{a_2}x + {b_2}y = {c_2} \Leftrightarrow y = \dfrac{{ - {a_2}}}{{{b_2}}}x + \dfrac{{{c_2}}}{{{b_2}}}\,\,\left( {{d_2}} \right)\).
Nhận xét vị trí tương đối của hai đường thẳng (d1) và (d2).
Số giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2) cũng chính là số nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y = {c_1}\\{a_2}x + {b_2}y = {c_2}\end{array} \right.\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(a)\,\,\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y = 3\\x + 2y = 1\end{array} \right.\)
\( - 2x + y = 3 \Leftrightarrow y = 2x + 3\,\,\left( {{d_1}} \right)\); \(x + 2y = 1 \Leftrightarrow 2y = - x + 1 \Leftrightarrow y = \dfrac{{ - 1}}{2}x + \dfrac{1}{2}\,\,\left( {{d_2}} \right)\)
Ta có: \({a_1} = 2;\,\,{a_2} = \dfrac{{ - 1}}{2} \Rightarrow {a_1} \ne {a_2} \Rightarrow \) Hai đường thẳng (d1) và (d2) cắt nhau tại 1 điểm.
Vậy hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y = 3\\x + 2y = 1\end{array} \right.\)có 1 nghiệm duy nhất.
b) \(\left\{ \begin{array}{l}4x - y = 8\\x - \dfrac{1}{4}y = 2\end{array} \right.\)
\(4x - y = 8 \Leftrightarrow y = 4x - 8\,\,\left( {{d_1}} \right)\) ; \(x - \dfrac{1}{4}y = 2 \Leftrightarrow \dfrac{1}{4}y = x - 2 \Leftrightarrow y = 4x - 8\,\,\left( {{d_2}} \right)\)
Ta có : \(\left( {{d_1}} \right) \equiv \left( {{d_2}} \right) \Rightarrow \) Hai đường thẳng (d1) và (d2) cắt nhau tại vô số điểm.
Vậy hệ \(\left\{ \begin{array}{l}4x - y = 8\\x - \dfrac{1}{4}y = 2\end{array} \right.\)có vô số nghiệm.
c) \(\left\{ \begin{array}{l}4x + 2y = 1\\2x + y = 2\end{array} \right.\)
\(4x + 2y = 1 \Leftrightarrow 2y = - 4x + 1 \Leftrightarrow y = - 2x + \dfrac{1}{2}\,\,\left( {{d_1}} \right):\,\,2x + y = 2 \Leftrightarrow y = - 2x + 2\,\,\left( {{d_2}} \right)\)
Ta có (d1) // (d2), do đó hai đường thẳng (d1) và (d2) không cắt nhau. Vậy hệ phương trình trên vô nghiệm.