Bài 5 trang 113 Dạy và học Toán 9 tập 2: Cho tam giác đều ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, lấy điểm D sao cho DB...

Cho tam giác đều ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, lấy điểm D sao cho DB = DC và $\widehat {DCB} = \dfrac{1}{2}\widehat {ACB}$.

a) Chứng minh ABDC là tứ giác nội tiếp.

b) Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDC.

a) Chứng minh $\widehat {DCB} = \widehat {BAD}$, từ đó suy ra tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh $\widehat {ACB} = {90^0}$, sử dụng định lí góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

a) $AB = AC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow A$ thuộc trung trực của BC.

$DB = DC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow D$ thuộc trung trực của BC

$\Rightarrow AD$ là trung trực của BC. Lại có tam giác ABC đều $\Rightarrow AD$ đồng thời là phân giác của $\widehat {BAC} \Rightarrow \widehat {BAD} = \dfrac{1}{2}\widehat {BAC} = \dfrac{1}{2}{.60^0} = {30^0}$.

Mà $\widehat {DCB} = \dfrac{1}{2}\widehat {ACB} = \dfrac{1}{2}{.60^0} = {30^0} \Rightarrow \widehat {DCB} = \widehat {BAD}$

Vậy tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh cùng nhìn 1 cạnh dưới góc bằng nhau).

b) Ta có : $\widehat {ACD} = \widehat {ACB} + \widehat {DCB} = {60^0} + {30^0} = {90^0} \Rightarrow \widehat {ACB}$ nội tiếp chắn nửa đường tròn $\Rightarrow AD$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDC.

Gọi O là trung điểm của AD. Vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABDC.