Bài 3 trang 113 Tài liệu dạy và học Toán 9 tập 2: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Trên cung nhỏ AC lấy một điểm D. Trên dây...

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Trên cung nhỏ AC lấy một điểm D. Trên dây cung BD lấy điểm M sao cho DM = DC.

a) Chứng minh MCD là tam giác đều.

b) Khi điểm D di động trên cung nhỏ AC (D có thể trùng điểm A hoặc điểm C), tập hợp các điểm M là gì?

a) Chứng minh tam giác MCD là tam giác cân có 1 góc bằng 60⁰.

b) Chứng minh $\widehat {BOC} = {120^0}$ không đổi.

a) Ta có: $\widehat {CDM} = \widehat {CAB} = {60^0}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BC).

Xét tam giác MCD có: $\left\{ \begin{array}{l}MC = MD\,\,\left( {gt} \right)\\\widehat {CDM} = {60^0}\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \Delta MCD$ đều.

b) Do tam giác MCD đều (cmt) $\Rightarrow \widehat {CMD} = {60^0}$.

Mà $\widehat {CMD} + \widehat {BMC} = {180^0}$ (2 góc kề bù) $\Rightarrow \widehat {BMC} = {180^0} - \widehat {CMD} = {180^0} - {60^0} = {120^0}$.

B, C cố định, do đó M thuộc cung chứa góc 120⁰ dựng trên đoạn thẳng BC.

Giới hạn: Khi $D \equiv B \Rightarrow M \equiv B;\,\,D \equiv C \Rightarrow M \equiv C$.

Vậy tập hợp các điểm M là cung chứa góc 120⁰ dựng trên đoạn thẳng BC cùng phía với điểm A.