Bài 10 trang 113 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2: Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O ; R) vẽ hai tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn A, B. Biết OM = 2R....

Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O ; R) vẽ hai tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn A, B. Biết OM = 2R.

a) Tính độ dài cung nhỏ cung AB

b) Tính diện tích giới hạn bởi hai đoạn MA, MB và cung nhỏ AB.

a) Gọi C là trung điểm của OM, chứng minh tam giác OAC đều, tính $\widehat {AOC}$ và suy ra số đo góc AOB.

Sử dụng công thức $l = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}}$.

b) Tính diện tích tứ giác OAMB và diện tích hình quạt OAB, từ đó suy ra diện tích hình cần tính.

a) Gọi C là trung điểm của OM $\Rightarrow OC = R \Rightarrow C \in \left( O \right)$.

Xét tam giác vuông OAM có: $AC = \dfrac{1}{2}OM = R$ (trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông).

Xét tam giác OAC có: $OA = OC = AC = R \Rightarrow \Delta OAC$ đều $\Rightarrow \widehat {AOC} = {60^0}$.

Mà OM là tia phân giác của $\widehat {AOB}$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow \widehat {AOB} = 2\widehat {AOC} = {120^0}$.

b) Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OAM có:

$AM = \sqrt {O{M^2} - O{A^2}}  = \sqrt {4{R^2} - {R^2}}  = R\sqrt 3$

$\Rightarrow AM = BM = R\sqrt 3$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

$\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{\Delta OAM}} = \dfrac{1}{2}OM.AM = \dfrac{1}{2}.R.R\sqrt 3  = \dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{2}\\\,\,\,\,\,\,{S_{\Delta OBM}} = \dfrac{1}{2}OM.BM = \dfrac{1}{2}.R.R\sqrt 3  = \dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow {S_{OAMB}} = {S_{\Delta OAM}} + {S_{\Delta OBM}} = \dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{2{R^2}\sqrt 3 }}{2} = {R^2}\sqrt 3 \end{array}$

Diện tích hình quạt OAB là ${S_q} = \dfrac{{\pi {R^2}n}}{{360}} = \dfrac{{\pi {R^2}.120}}{{360}} = \dfrac{{\pi {R^2}}}{3}$

Vậy diện tích giới hạn bởi hai đoạn MA, MB và cung nhỏ AB là:

$S = {S_{OAMB}} - {S_q} = {R^2}\sqrt 3  - \dfrac{{\pi {R^2}}}{3} = {R^2}\left( {\sqrt 3  - \dfrac{\pi }{3}} \right)$.