Bài 7 trang 113 Dạy và học Toán 9 tập 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm M trên đoạn AO, vẽ dây CD vuông góc với AB...

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm M trên đoạn AO, vẽ dây CD vuông góc với AB tại M. Biết AM = 1 cm, CD = $2\sqrt 3$ cm. Tính:

a) Chu vi đường tròn.

b) Độ dài cung cung CAD .

a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại C, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, tính BM, từ đó tính AB và suy ra bán kính đường tròn $\left( O \right)$.

Sử dụng công thức tính chu vi đường tròn $C = 2\pi R$.

b) Tính $\sin \widehat {COA} \Rightarrow$ số đo góc COA. Sử dụng công thức $l = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}}$ tính độ dài cung AC.

Chứng minh cung  có độ dài gấp đôi cung AC.

a) Vì $AB \bot CD$ tại M $\Rightarrow M$ là trung điểm của CD (Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung) $\Rightarrow CM = \dfrac{1}{2}CD = \sqrt 3$.

Ta có: $\widehat {ACB} = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại C.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có:

$C{M^2} = AM.BM \Leftrightarrow BM = \dfrac{{C{M^2}}}{{AM}} = \dfrac{3}{1} = 3$ (cm)

$\Rightarrow AB = AM + BM = 1 + 3 = 4$ (cm)

$\Rightarrow$ Bán kính của đường tròn $\left( O \right)$ là $R = OA = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}.4 = 2$ (cm)

Vậy chu vi của đường tròn $\left( O \right)$ là: $C = 2\pi R = 2\pi .2 = 4\pi \,\,\left( {cm} \right)$.

b) $\Delta ABC$ vuông tại C $\Rightarrow CO = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}.4 = 2\,\,\left( {cm} \right)$ (định lí trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông).

Xét tam giác vuông OCM có: $\sin \widehat {COM} = \dfrac{{CM}}{{CO}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat {COM} = {60^0} \Rightarrow \widehat {COA} = {60^0}$

 (cm).

Vì A thuộc trung trực của CD $\Rightarrow AC = AD$ (điểm thuộc trung trực của đoạn thẳng cách đều 2 đầu mút của đoạn thẳng đó) $\Rightarrow cung\,AC = cung\,AD \Rightarrow {l_{cungCAD}} = 2{l_{cungAC}} = \dfrac{{4\pi }}{3} \approx 4,19\,\,\left( {cm} \right)$.