Bài 7 trang 111 Dạy và học Toán 9 tập 2: Trên đường tròn (O; R) lần lượt lấy ba điểm A, B, C theo thứ tự sao cho...

Trên đường tròn (O; R) lần lượt lấy ba điểm A, B, C theo thứ tự sao cho $AB = R\sqrt 2$ và sđ cung BC=30⁰.

a) Tính số đo của cung AB không chứa điểm C và tính độ dài dây AC theo R.

b) Từ A vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng BC tại D. Tính độ dài các cung AD, DB, AB của đường tròn (ABD) theo R.

a) Chứng minh tam giác OAB vuông tại O suy ra số đo cung AB.

Gọi H là trung điểm của AC, chứng minh H là trung điểm của AC, tính AH, từ đó suy ra AC.

b) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD, tính số đo các góc $\widehat {AO’D};\,\,\widehat {BO’D};\,\,\widehat {AO’B}$ với O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.

Sử dụng công thức tính độ dài cung n⁰ của đường tròn có bán kính R là $l = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}}$.

a) Xét tam giác OAB có : $O{A^2} + O{B^2} = {R^2} + {R^2} = 2{R^2} = A{B^2}$

$\Rightarrow \Delta OAB$ vuông tại O (định lí Pytago đảo)

$\Rightarrow \widehat {AOB} = {90^0} = sdcung\,AB$ (số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn).

Mà $sdcung\,BC = {30^0} \Rightarrow \widehat {BOC} = {30^0}$(số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn).

$\Rightarrow \widehat {AOC} = \widehat {AOB} + \widehat {BOC} = {90^0} + {30^0} = {120^0}$.

Gọi H là trung điểm của AC ta có $OH \bot AC$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Xét tam giác OAC có $OA = OC = R \Rightarrow \Delta OAC$ cân tại O $\Rightarrow OH$ là đường cao đồng thời là phân giác $\Rightarrow \widehat {AOH} = \dfrac{1}{2}\widehat {AOC} = \dfrac{1}{2}{.120^0} = {60^0}$.

Xét tam giác vuông OAH có : $AH = OA.\sin {60^0} = R.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$

$\Rightarrow AC = 2AH = 2.R.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = R\sqrt 3$.

b) Tam giác ABD vuông tại D nên nội tiếp đường tròn đường kính AB, bán kính $r = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}$

Xét tam giác OBC có $OB = OC = R \Rightarrow \Delta OBC$ cân tại O

$\Rightarrow \widehat {OBC} = \widehat {OCB} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat {BOC}}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - {{30}^0}}}{2} = {75^0}$

Ta có : $\widehat {OBD} + \widehat {OBC} = {180^0}$ (hai góc kề bù) $\Rightarrow \widehat {OBD} = {180^0} - \widehat {OBC} = {180^0} - {75^0} = {105^0}$

Tứ giác OADB có $\widehat {AOB} + \widehat {ADB} = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow$ Tứ giác OADB là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat {OAD} + \widehat {OBD} = {180^0}$ (tổng 2 góc đối của tứ giác nội tiếp)

$\Rightarrow \widehat {OAD} = {180^0} - \widehat {OBD} = {180^0} - {105^0} = {75^0}$.

Mà $\widehat {OAB} + \widehat {BAD} = \widehat {AOD} \Rightarrow {45^0} + \widehat {BAD} = {75^0} \Rightarrow \widehat {BAD} = {30^0}$

(do $\Delta OAB$ vuông cân tại O nên $\widehat {OAB} = \widehat {OBA} = {45^0}$)

Gọi O’ là trung điểm của AB.

Tam giác O’AD có $O’A = O’D \Rightarrow \Delta O’AD$ cân tại O’

$\Rightarrow \widehat {AO’D} = {180^0} - \widehat {O’AD} - \widehat {O’DA} = {180^0} - 2\widehat {O’AD} = {180^0} - {2.30^0} = {120^0}$

$\Rightarrow {l_{AD}} = \dfrac{{\pi rn}}{{180}} = \dfrac{{\pi .\dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}.120}}{{180}} = \dfrac{{\pi R\sqrt 2 }}{3}$

Ta có $\widehat {BO’D} + \widehat {AO’D} = {180^0}$ (kề bù) $\Rightarrow \widehat {BO’D} = {180^0} - \widehat {AO’D} = {180^0} - {120^0} = {60^0}$

$\Rightarrow {l_{DB}} = \dfrac{{\pi rn}}{{180}} = \dfrac{{\pi .\dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}.60}}{{180}} = \dfrac{{\pi R\sqrt 2 }}{6}$

${l_{AB}} = \dfrac{{\pi rn}}{{180}} = \dfrac{{\pi \dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}180}}{{180}} = \dfrac{{\pi R\sqrt 2 }}{2}$