Bài 9 trang 70 sgk Toán 9 - tập 1, Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và Tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông goác với DI. Đường thẳng này...

Bài 9. Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và Tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông goác với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng

a) Tam giác DIL là một tam giác cân;

b) Tổng $\frac{1}{DI^{2}}+\frac{1}{DK^{2}}$ không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.

Hướng dẫn giải:

a) $\Delta ADI$ và $\Delta CDL$ có:

$\widehat{A}=\widehat{C}= 90^{\circ}$

$AD=CD$ (hai cạnh hình vuông)

$\widehat{D_{1}}=\widehat{D_{2}}$ cùng phụ với $\widehat{CDI}$

Do đó $\Delta ADI=\Delta CDL$ (g.c.g)

Suy ra $DI=DL$. Vậy $\Delta DIL$ cân

b) Áp dụng hệ thức $\frac{1}{h^{2}}=\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}$ ta có $\frac{1}{DC^{2}}=\frac{1}{DL^{2}}+\frac{1}{DK^{2}}$

Do đó $\frac{1}{DC^{2}}=\frac{1}{DI^{2}}+\frac{1}{DK^{2}}$

Do DC không đổi nên $\frac{1}{DI^{2}}+\frac{1}{DK^{2}}$ là không đổi.

Nhận xét: Câu a) chỉ là gợi ý để làm câu b). Điều phải chứng minh ở câu b) rất gần với hệ thức $\frac{1}{h^{2}}=\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}$

Nếu đề bài không cho vẽ $DL\perp DK$ thì ta vẫn phải vẽ đường phụ $DL\perp DK$ để có thể vận dụng hệ thức trên.