Bài 2 trang 22 vở thực hành Toán 9 tập 2: Cho phương trình x^2 - x - 1 = 0. Không giải phương trình, hãy tính...

Cho phương trình ${x^2} - x - 1 = 0$. Không giải phương trình, hãy tính:

a) Tổng và tích các nghiệm.

b) Tổng các nghịch đảo của các nghiệm.

a) Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$.

+ Tính biệt thức $\Delta = {b^2} - 4ac$.

+ Nếu $\Delta \ge 0$ thì áp dụng định lí Viète để tính tổng và tích các nghiệm: ${x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}$

b) Biến đổi $\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}$ (*), thay ${x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}$ vào biểu thức (*) để tính.

Ta có: $\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.\left( { - 1} \right) = 5 > 0$.

Do đó, phương trình có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$.

a) Áp dụng định lí Viète ta có:

${x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{{ - 1}}{1} = 1;\\{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 1}}{1} = - 1.$

b) Ta có:

$\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{1}{{ - 1}} = - 1$.