Câu hỏi/bài tập:
Cho phương trình \({x^2} - x - 1 = 0\). Không giải phương trình, hãy tính:
a) Tổng và tích các nghiệm.
b) Tổng các nghịch đảo của các nghiệm.
a) Xét phương trình bậc hai một ẩn \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\).
+ Tính biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\).
+ Nếu \(\Delta \ge 0\) thì áp dụng định lí Viète để tính tổng và tích các nghiệm: \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\)
Advertisements (Quảng cáo)
b) Biến đổi \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}\) (*), thay \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\) vào biểu thức (*) để tính.
Ta có: \(\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.\left( { - 1} \right) = 5 > 0\).
Do đó, phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\).
a) Áp dụng định lí Viète ta có:
\({x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{{ - 1}}{1} = 1;\\{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 1}}{1} = - 1.\)
b) Ta có:
\(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{1}{{ - 1}} = - 1\).