Câu hỏi/bài tập:
Cho phương trình \({x^2} + x - 3 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\).
a) Tính giá trị của biểu thức \(x_1^2 + x_2^2\).
b) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là \(\frac{1}{{x_1^2}}\) và \(\frac{1}{{x_2^2}}\).
+ Chỉ ra phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) và viết định lí Viète để tính \({x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}\).
a) Biến đổi \(x_1^2 + x_2^2 = \left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2} \right) - 2{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\), từ đó tính được giá trị biểu thức.
b) + Tính \(\frac{1}{{x_1^2}} + \frac{1}{{x_2^2}};\frac{1}{{x_1^2}}.\frac{1}{{x_2^2}}\), từ đó viết được phương trình bậc hai có hai nghiệm là \(\frac{1}{{x_1^2}}\) và \(\frac{1}{{x_2^2}}\).
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có: \(\Delta = {1^2} - 4.1.\left( { - 3} \right) = 13 > 0\).
Do đó, phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\).
Theo định lí Viète ta có:
\({x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{1}{1} = - 1;\\{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 3}}{1} = - 3.\)
a) Ta có:
\(x_1^2 + x_2^2 = \left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2} \right) - 2{x_1}{x_2} \\= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {\left( { - 1} \right)^2} - 2.\left( { - 3} \right) = 7\)
b) Ta có:
\(\frac{1}{{x_1^2}} + \frac{1}{{x_2^2}} = \frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} = \frac{7}{{{{\left( { - 3} \right)}^2}}} = \frac{7}{9};\\\frac{1}{{x_1^2}}.\frac{1}{{x_2^2}} = \frac{1}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( { - 3} \right)}^2}}} = \frac{1}{9}.\)
Vậy phương trình bậc hai nhận \(\frac{1}{{x_1^2}}\) và \(\frac{1}{{x_2^2}}\) làm nghiệm là \({x^2} - \frac{7}{9}x + \frac{1}{9} = 0\).