Bài 3 trang 22 vở thực hành Toán 9 tập 2: Cho phương trình x^2 + x - 3 = 0 có hai nghiệm x_1, x_2...

Cho phương trình ${x^2} + x - 3 = 0$ có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$.

a) Tính giá trị của biểu thức $x_1^2 + x_2^2$.

b) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là $\frac{1}{{x_1^2}}$ và $\frac{1}{{x_2^2}}$.

+ Chỉ ra phương trình có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ và viết định lí Viète để tính ${x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}$.

a) Biến đổi $x_1^2 + x_2^2 = \left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2} \right) - 2{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}$, từ đó tính được giá trị biểu thức.

b) + Tính $\frac{1}{{x_1^2}} + \frac{1}{{x_2^2}};\frac{1}{{x_1^2}}.\frac{1}{{x_2^2}}$, từ đó viết được phương trình bậc hai có hai nghiệm là $\frac{1}{{x_1^2}}$ và $\frac{1}{{x_2^2}}$.

Ta có: $\Delta = {1^2} - 4.1.\left( { - 3} \right) = 13 > 0$.

Do đó, phương trình có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$.

Theo định lí Viète ta có:

${x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{1}{1} = - 1;\\{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 3}}{1} = - 3.$

a) Ta có:

$x_1^2 + x_2^2 = \left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2} \right) - 2{x_1}{x_2} \\= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {\left( { - 1} \right)^2} - 2.\left( { - 3} \right) = 7$

b) Ta có:

$\frac{1}{{x_1^2}} + \frac{1}{{x_2^2}} = \frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} = \frac{7}{{{{\left( { - 3} \right)}^2}}} = \frac{7}{9};\\\frac{1}{{x_1^2}}.\frac{1}{{x_2^2}} = \frac{1}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( { - 3} \right)}^2}}} = \frac{1}{9}.$

Vậy phương trình bậc hai nhận $\frac{1}{{x_1^2}}$ và $\frac{1}{{x_2^2}}$ làm nghiệm là ${x^2} - \frac{7}{9}x + \frac{1}{9} = 0$.