Bài 3 trang 17 vở thực hành Toán 9: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy là tam giác đều cạnh a (cm) và chiều cao 10cm...

Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy là tam giác đều cạnh a (cm) và chiều cao 10cm.

a) Tính diện tích đáy S của hình chóp theo a.

b) Từ kết quả câu a, tính thể tích V của hình chóp theo a và tính giá trị của V khi $a = 4cm$.

c) Nếu độ dài cạnh đáy giảm đi hai lần thì thể tích hình chóp thay đổi thế nào?

a) Áp dụng định lí Pythagore, ta tính được chiều cao của tam giác đều cạnh a.

b) Thể tích của hình chóp tam giác đều là: $V = \frac{1}{3}S.h$.

c) + Tính chiều cao mới của đáy hình chóp theo a.

+ Tính diện tích đáy hình chóp mới bằng bao nhiêu lần diện tích đáy hình chóp cũ.

+ Tính thể tích hình chóp mới bằng bao nhiêu lần thể tích hình chóp cũ.

a) Áp dụng định lí Pythagore, ta tính được chiều cao của tam giác đều cạnh a là:

${h_1} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\left( {cm} \right)$.

Diện tích đáy S của hình chóp là:

$S = \frac{1}{2}a.{h_1} = \frac{1}{2}a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\left( {c{m^2}} \right)$.

b) Thể tích của hình chóp tam giác đều là:

$V = \frac{1}{3}S.h = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.10 = \frac{{5\sqrt 3 }}{6}{a^2}\left( {c{m^3}} \right)$.

Thay a = 4 cm, ta được $S = \frac{{5\sqrt 3 }}{6}{4^2} = \frac{40\sqrt 3}{3} \left( {c{m^3}} \right)$.

c) Chiều cao mới của đáy là:

h_mới $= \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{4}} \right)}^2}}$

$= \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{{16}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\left( {cm} \right)$.

Diện tích đáy mới là:

S_mới $= \frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{4} = \frac{1}{4}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{1}{4}$.S_cũ.

Suy ra V_mới $= \frac{1}{3}$.S_mới.h$= \frac{1}{3}.\frac{1}{4}$.S_cũ.h$= \frac{1}{4}$.V_cũ

Vậy nếu độ dài cạnh đáy giảm đi hai lần thì thể tích hình chóp giảm đi 4 lần.