Bài 104 trang 122 SBT Hình 10 nâng cao: (h.130)....

Cho đường tròn $(C): {x^2} + {y^2} = {R^2}$ và điểm $M(x_0 ; y_0)$ nằm ngoài $(C)$. Từ $M$ ta kẻ hai tiếp tuyến $MT_1$ và $MT_2$ tới $(C)$ ($T_1, T_2$ là các tiếp điểm).

a) Viết phương trình đường thẳng $T_1T_2;$

b) Giả sử $M$ chạy trên một đường $d$ cố định không cắt $(C)$. Chứng minh rằng đường thẳng $T_1T_2$ luôn đi qua một điểm cố định.

(h.130).

Giả sử ${T_1} = ({x_1} ; {y_1}) ,  {T_2} = ({x_2} ; {y_2})$. Đường tròn $(C)$ có tâm $O(0 ; 0)$, bán kính $R.$ Phương trình tiếp tuyến $MT_1$ có dạng ${x_1}x + {y_1}y = {R^2}$ và tiếp tuyến $MT_2$ có dạng

$\begin{array}{l}{x_2}x + {y_2}y = {R^2}\\M \in M{T_1} , M \in M{T_2}\\    \Rightarrow     \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_0} + {y_1}{y_0} = {R^2}\\{x_2}{x_0} + {y_2}{y_0} = {R^2}.\end{array} \right.\end{array}$

Suy ra $({x_1} ; {y_1}) ,  ({x_2} ; {y_2})$ là các nghiệm của phương trình ${x_0}x + {y_0}y = {R^2}$.    (1)

Vì $M$ nằm ngoài $(C)$ nên $x_0^2 + y_0^2 > 0$, do đó (1) là phương trình đường thẳng. 

Vậy phương trình đường thẳng $T_1T_2$ là ${x_0}x + {y_0}y - {R^2} = 0$.

b) Xét trường hợp đường thẳng cố định $d$ có phương trình dạng: $x = a  (|a| > R)$. Khi đó $M=(a ; y_0)$ phương trình $T_1T_2$ là $ax + {y_0}y - {R^2} = 0$. Dễ thấy đường thẳng $T_1T_2$ luôn đi qua điểm cố định $\left( { \dfrac{{{R^2}}}{a} ; 0} \right)$.

Xét trường hợp đường thẳng $d$ có phương trình dạng $y=kx+m$. Do $d$ không cắt $(C)$ nên $m \ne 0$. Ta có $M = ({x_0} ; k{x_0} + m)$. Phương trình đường thẳng $T_1T_2$ là

${x_0}x + (k{x_0} + m)y - {R^2} = 0$ hay ${x_0}(x + ky) + my - {R^2} = 0$.

Ta tìm được điểm cố định mà đường thẳng $T_1T_2$ luôn đi qua là $\left( { \dfrac{{ - k{R^2}}}{m} ;  \dfrac{{{R^2}}}{m}} \right)$.