Cho elip (E):x24+y21=1 và hai điểm M(−2;m),N(2;n)(m≠−n).
a) Xác định tâm sai, tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh và phương trình đường chuẩn của (E).
b) Gọi A1 và A2 là các đỉnh trên trục lớn của (E) (xA1<xA2). Hãy viết phương trình của các đường thẳng A1N và A2M. Xác định tọa độ giao điểm I của chúng.
c) Biết đường thẳng MN thay đổi nhưng luôn cắt (E) tại một điểm duy nhất. Tìm tập hợp các giao điểm.
Giải
(h.131).
a) a2=4⇒a=2, b2=1⇒b=1, c2=a2−b2=3⇒c=√3. (E) có:
Các tiêu điểm : F1(−√3;0),F2(√3;0).
Các đỉnh A1(−2;0), A2(2;0), B1(0;−1), B2(0;1).
Tâm sai e=ca=√32.
Các đường chuẩn : x=±ae=±4√3.
b) Phương trình đường thẳng A1N:nx−4y+2n=0.
Phương trình đường thẳng A2M:mx+4y−2m=0.
Advertisements (Quảng cáo)
Tọa độ giao điểm I là nghiệm của hệ:
{nx−4y+2n=0mx+4y−2m=0⇔{x=2(m−n)m+ny=mnm+n. Vậy I=(2(m−n)m+n;mnm+n).
c) Phương trình đường thẳng MN: (n−m)x−4y+2(m+n)=0.
MN cắt (E) tại một điểm duy nhất khi và chỉ khi hệ {(n−m)x−4y+2(m+n)=0(1)x24+y2=1(2) có đúng một nghiệm.
(1)⇒y=14[(n−m)x+2(m+n)], thay y vào (2), ta được:
x2+4.116[(n−m)x+2(m+n)]2=4⇔[(n−m)2+4]x2+4(n2−m2)x+4(m+n)2−16=0(3)
(3) có một nghiệm khi và chỉ khi \Delta ‘ = 0 hay
\begin{array}{l}4{({n^2} - {m^2})^2} - [{(n - m)^2} + 4]\\.[4{(n + m)^2} - 16] = 0\\ \Leftrightarrow mn = 1. \,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)\end{array}
Suy ra tọa độ của I là \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2(m - n)}}{{m + n }}\,\,\,\,\,\,\,\,(5)\\y = \dfrac{{mn}}{{m + n}} = \dfrac{1}{{m + n}}\,\,\,\,\,\,\,(6)\end{array} \right.
\begin{array}{l}(5) \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{4} = \dfrac{{{{(m - n)}^2}}}{{{{(m + n)}^2}}}\\ = \dfrac{{{m^2} - 2mn + {n^2}}}{{{{(m + n)}^2}}}\\(6) \Rightarrow 4{y^2} = \dfrac{{4mn}}{{{{(m + n)}^2}}}.\end{array}
Do đó \dfrac{{{x^2}}}{4} + 4{y^2} = 1.
Vậy tập hợp các giao điểm I là elip (E’) có phương trình: \dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{{ \dfrac{1}{4}}} = 1.