Advertisements (Quảng cáo)
Cho tam giác \(ABC.\)
a) Hãy xác định các điểm \(G, P, Q, R, S\) sao cho:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0;\\2\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PC} = \overrightarrow 0 ;\\\overrightarrow {QA} + 3\overrightarrow {QB} + 2\overrightarrow {QC} = \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {RA} – \overrightarrow {RB} + \overrightarrow {RC} = \overrightarrow 0 ;\\5\overrightarrow {SA} – 2\overrightarrow {SB} – \overrightarrow {SC} = \overrightarrow 0 \,\,;\,\,\,\,\,\end{array}\)
b) Với điểm \(O\) bất kì và với các điểm \(G, P, Q, R, S\) ở câu a), chứng minh rằng :
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OG} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {OA} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {OB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {OC} ;\\\overrightarrow {OP} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OA} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow {OB} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow {OC} \\\overrightarrow {OQ} = \dfrac{1}{6}\overrightarrow {OA} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {OC} ;\\\,\overrightarrow {OR} = \overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \,\,;\\\overrightarrow {OS} = \dfrac{5}{2}\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} – \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OC} .\end{array}\)
a) \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
\(2\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PC} = \overrightarrow 0 \)
\(\Leftrightarrow \,\,2\overrightarrow {PA} + 2\overrightarrow {PD} = \overrightarrow 0 \)(\(D\) là trung điểm của cạnh \(BC\)). Vậy \(P\) là trung điểm của trung tuyến \(AD\).
\(\overrightarrow {QA} + 3\overrightarrow {QB} + 2\overrightarrow {QC} = \overrightarrow 0\)
\( \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {QA} + \overrightarrow {QB} + 2(\overrightarrow {QB} + \overrightarrow {QC} ) = \overrightarrow {0\,} \)
\(\Leftrightarrow \,\,2\overrightarrow {QE} + 4\overrightarrow {QD} = \overrightarrow 0 \) (\(E\) là trung điểm cạnh \(AB, D\) là trung điểm của \(BC\)) \( \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {QE} + 2(\overrightarrow {QE} + \overrightarrow {ED} ) = \overrightarrow 0 \)
\(\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {EQ} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {ED} \).
\(\overrightarrow {RA} – \overrightarrow {RB} + \overrightarrow {RC} = \overrightarrow 0 \)
\(\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {RC} = \overrightarrow 0 \)
\(\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {CR} = \overrightarrow {BA} .\)
\(\begin{array}{l}5\overrightarrow {SA} – 2\overrightarrow {SB} – \overrightarrow {SC} = \overrightarrow 0\\ \Leftrightarrow \,\,5\overrightarrow {SA} – 2(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AB} ) – (\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AC} ) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \,\overrightarrow {AS} = – \overrightarrow {AB} – \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\end{array}\)
b) Hướng dẫn: Xuất phát từ câu a), hãy viết mỗi vec tơ thành hiệu hai vec tơ có điểm đầu là O.