Bài 4 trang 39 SBT Hình học 10 Nâng cao: Bài 1. Giá trị lượng giác của một góc bất kì (Từ 0 độ đến 180 độ)....

a) Chứng minh rằng với mọi góc a khác $90^0$, ta có $1 + {\tan ^2}a = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}a}}.$

b) Cho $\tan x=-5$, hãy tìm các giá trị lượng giác còn lại của góc $x$.

Giải

a) $1 + {\tan ^2}a = 1 + \dfrac{{{{\sin }^2}a}}{{{{\cos }^2}a}}$

$= \dfrac{{{{\cos }^2}a + {{\sin }^2}a}}{{{{\cos }^2}a}} = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}a}}.$

b) Áp dụng $\tan x.\cot x = 1$ để tính $\cot x$.

Áp dụng câu a), ta có $\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {( - 5)^2}$

$\Rightarrow \,\,{\cos ^2}x = \dfrac{1}{{26}}.$

Vì $\tan x <0$ nên $\cos x<0,$ suy ra $\cos x =  - \dfrac{1}{{\sqrt {26} }}$.

Từ $\sin x=\cos x.\tan x$, ta tính được:

$\cot x =  - \dfrac{1}{5}\,;\,\,\sin x = \dfrac{5}{{\sqrt {26} }}$.