Biết \(\tan a + \cot a = k.\)
a) Tìm \(\tan^2a + \cot^2a.\)
b) Tìm \(\tan^4a + \cot^4a.\)
c) Tìm \(\tan^6a + \cot^6a.\)
d) Chứng minh : \(|k|\,\, \ge 2\).
Giải
a) \({\tan ^2}a + {\cot ^2}a\)
\(= {(\tan a + \cot a)^2} - 2\tan a\cot a = {k^2} - 2\)
Advertisements (Quảng cáo)
b)
\({\tan ^4}a + {\cot ^4}a \)
\(= {({\tan ^2}a + {\cot ^2}a)^2} - 2{\tan ^2}a.{\cot ^2}a\)
\(= {({k^2} - 2)^2} - 2 = {k^4} - 4{k^2} + 2.\)
c) Ta có
\(\begin{array}{l}{\tan ^6}a + {\cot ^6}a \\= {({\tan ^2}a + {\cot ^2}a)^3} - 3{\tan ^2}a.{\cot ^2}a({\tan ^2}a + {\cot ^2}a)\\= {({k^2} - 2)^3} - 3({k^2} - 2)\\= ({k^2} - 2)({k^4} - 4{k^2} + 1).\end{array}\)
d) Thay \(\cot a = \dfrac{1}{{\tan a}}\) dẫn đến \({\tan ^2}a - k\tan a + 1 = 0\). Vậy \(\tan a\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - kx + 1 = 0\) nên \(\Delta = {k^2} - 4 \ge 0\) hay \(|k| \ge 2\).