Bài 8 trang 39 Sách bài tập Toán Nâng cao Hình 10:...

Biết $\tan a + \cot a = k.$

a) Tìm $\tan^2a + \cot^2a.$

b) Tìm $\tan^4a + \cot^4a.$

c) Tìm $\tan^6a + \cot^6a.$

d) Chứng minh : $|k|\,\, \ge 2$.

Giải

a) ${\tan ^2}a + {\cot ^2}a$

$= {(\tan a + \cot a)^2} - 2\tan a\cot a = {k^2} - 2$

b)

${\tan ^4}a + {\cot ^4}a$

$= {({\tan ^2}a + {\cot ^2}a)^2} - 2{\tan ^2}a.{\cot ^2}a$

$= {({k^2} - 2)^2} - 2 = {k^4} - 4{k^2} + 2.$

c) Ta có

$\begin{array}{l}{\tan ^6}a + {\cot ^6}a \\= {({\tan ^2}a + {\cot ^2}a)^3} - 3{\tan ^2}a.{\cot ^2}a({\tan ^2}a + {\cot ^2}a)\\= {({k^2} - 2)^3} - 3({k^2} - 2)\\= ({k^2} - 2)({k^4} - 4{k^2} + 1).\end{array}$

d) Thay $\cot a = \dfrac{1}{{\tan a}}$ dẫn đến ${\tan ^2}a - k\tan a + 1 = 0$. Vậy $\tan a$ là nghiệm của phương trình ${x^2} - kx + 1 = 0$ nên $\Delta  = {k^2} - 4 \ge 0$ hay $|k| \ge 2$.