Bài 7 trang 39 SBT Hình 10 nâng cao...

Biết $\sin x+\cos x=m.$

a) Tìm $\sin x.\cos x.$

b) Tìm $\sin^4x+\cos^4x.$

c) Tìm $\sin^6x+\cos^6 x.$

d) Chứng minh rằng $- \sqrt 2  \le m \le \sqrt 2$

Giải

a) Bình phương hai vế và áp dụng bài 3a) ta có $\sin x\cos x = \dfrac{{{m^2} - 1}}{2}$.

b) Ta có

$\begin{array}{l}{\sin ^4}x + {\cos ^4}x = {({\sin ^2}x)^2} + {({\cos ^2}x)^2}\\ = {({\sin ^2}x + {\cos ^2}x)^2} - 2{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\\= 1 - \dfrac{{{{({m^2} - 1)}^2}}}{2} = \dfrac{{1 + 2{m^2} - {m^4}}}{2}.\end{array}$

c) Viết lại

${\sin ^6}x + {\cos ^6}x = {({\sin ^2}x)^3} + {({\cos ^2}x)^3}$ rồi sử dụng hằng đẳng thức ${a^3} + {b^3} = {(a + b)^3} - 3ab(a + b).$

Ta có

${\sin ^6}x + {\cos ^6}x = {({\sin ^2}x)^3} + {({\cos ^2}x)^3}$

$= \dfrac{{ - 3{m^4} + 6{m^2} + 1}}{4}.$

d) Từ giả thiết suy ra $\sin x=m-\cos x.$ Lại có ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$. Từ đó dẫn đến $\cos x$ là nghiệm của phương trình $2{t^2} - 2mt + {m^2} - 1 = 0$ nên $\Delta ‘ \ge 0$, từ đó suy ra ${m^2} \le 2$ hay $- \sqrt 2  \le m \le \sqrt 2$.