Bài 6 trang 39 SBT Hình học 10 Nâng cao:...

Cho biết $\sin {15^0} = \dfrac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{4}.$

a) Tính $\tan15^0$.

b) Chứng minh $2\sin 15^0\cos 15^0=\sin 30^0$.

Giải

a)

${\cos ^2}{15^0} = 1 - {\left( {\dfrac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{4}} \right)^2}$

$= \dfrac{{8 + 2\sqrt {12} }}{{16}}$

$= \dfrac{{{{(\sqrt 6 )}^2} + 2\sqrt 6 \sqrt 2  + {{(\sqrt 2 )}^2}}}{{16}}$

$= \dfrac{{{{(\sqrt 6  + \sqrt 2 )}^2}}}{{16}}.$

Do $15^0<90^0$ nên $\cos 15^0>0$, suy ra $\cos {15^0} = \dfrac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{4}.$

$\tan {15^0} = \dfrac{{\sin {{15}^0}}}{{\cos {{15}^0}}}$

$= \dfrac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}$

$= \dfrac{{{{(\sqrt 6  - \sqrt 2 )}^2}}}{{6 - 2}} = 2 - \sqrt 3 .$

b)

$2\sin {15^0}\cos {15^0}$

$= 2.\dfrac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{4}.\dfrac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{{42}}$

$= \dfrac{1}{2} = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in3}}{0^0}$.