Advertisements (Quảng cáo)
Lập phương trình chính tắc của elip \((E)\) biết
a) \(A(0 ; -2)\) là một đỉnh và \(F(1 ; 0)\) là một tiêu điểm của \((E);\)
b) \(F_1(-7 ; 0)\) là một tiêu điểm và \((E)\) đi qua \(M(-2 ; 12);\)
c) Tiêu cự bằng \(6\), tâm sai bằng \( \dfrac{3}{5}\);
d) Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là \(x = \pm 4, y = \pm 3\).
e) \((E)\) đi qua hai điểm \(M(4 ; \sqrt 3 ) , N(2\sqrt 2 ; – 3)\).
Giải
Elip \((E)\) có phương trình chính tắc : \( \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 (a > b > 0)\).
a) \(A(0 ; -2)\) là một đỉnh \( \Rightarrow b = 2 ; F(1 ; 0)\) là một tiêu điểm \( \Rightarrow c = 1\).
\({a^2} = {b^2} + {c^2} = 5\).
Vậy phương trình của \((E)\) là : \( \dfrac{{{x^2}}}{5} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\).
b) \({F_1}( – 7 ; 0)\) là một tiêu điểm \( \Rightarrow \) tiêu điểm thứ hai là: \({F_2}(7 ; 0)\).
\(m \in (E) \Rightarrow 2a = M{F_1} + M{F_2}\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(= \sqrt {{{( – 7 + 2)}^2} + {{12}^2}} + \sqrt {{{(7 + 2)}^2} + {{12}^2}}\)
\( = 28 \Rightarrow a = 14\).
\(F( – 7 ; 0)\) là tiêu điểm \( \Rightarrow c = 7 \Rightarrow {b^2} = {a^2} – {c^2} = 147\).
Phương trình của \((E)\) là: \( \dfrac{{{x^2}}}{{196}} + \dfrac{{{y^2}}}{{147}} = 1\).
c) \(2c = 6 \Rightarrow c = 3 ,\) \( e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{5} , \) \( \Rightarrow a = 5, {b^2} = {a^2} – {c^2} = 16\).
Phương trình của \((E)\) là : \( \dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1.\)
d) \(a = 4, b = 3 \Rightarrow \) phương trình của \((E)\) là \( \dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\)
e) \(M, N \in (E) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{16}}{{{a^2}}} + \dfrac{3}{{{b^2}}} = 1\\ \dfrac{8}{{{a^2}}} + \dfrac{9}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 20\\{b^2} = 15.\end{array} \right.\)
Phương trình của \((E)\) là : \( \dfrac{{{x^2}}}{{20}} + \dfrac{{{y^2}}}{{15}} = 1\).