Trang chủ Lớp 10 SBT Toán 10 Nâng cao (sách cũ) Bài 58 trang 109 SBT Hình 10 nâng cao

Bài 58 trang 109 SBT Hình 10 nâng cao...

Bài 58 trang 109 SBT Hình học 10 Nâng cao. Bài 4. Đường tròn.

Cho đường cong \((C_m)\) có phương trình:

\({x^2} + {y^2} + (m + 2)x - (m + 4)y + m + 1 = 0\)

a) Chứng minh rằng \((C_m)\) luôn là đường tròn với mọi giá trị của m.

b) Tìm tập hợp tâm các đường tròn \((C_m)\) khi m thay đổi.

c) Chứng minh rằng khi \(m\) thay đổi, họ các đường tròn \((C_m)\) luôn đi qua hai điểm cố định.

d) Tìm những điểm trong mặt phẳng tọa độ mà họ \((C_m)\) không đi qua dù m lấy bất cứ giá trị nào.

a) Phương trình \((C_m)\) có dạng \({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\).

Với \(a =  \dfrac{{m + 2}}{2} ,  b =  -  \dfrac{{m + 4}}{2} ,  c = m + 1\).

Ta có

\({a^2} + {b^2} - c\)

\(= {\left( { \dfrac{{m + 2}}{2}} \right)^2} + {\left( { \dfrac{{m + 4}}{2}} \right)^2} - (m + 1)\)

\(=  \dfrac{{{m^2} + 4m + 8}}{2} > 0\) với mọi \(m.\)

Vậy \((C_m)\) là đường tròn với mọi giá trị của \(m.\)

b) Tọa độ tâm \(I_m\) của đường tròn \((C_m)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  -  \dfrac{{m + 2}}{2}\\y =  \dfrac{{m + 4}}{2}\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow    \left\{ \begin{array}{l}2x =  - (m + 2)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\2y = m + 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

Cộng từng vế của (1) và (2), ta được \(2x+2y=2\) hay \(x+y-1=0.\)

Advertisements (Quảng cáo)

Vậy tập hợp tâm của các đường tròn \((C_m)\) là đường thẳng có phương trình: \(x+y-1=0.\)

c) Gọi \(M(x_0 ;y_0)\) là điểm cố định mà họ \((C_m)\) luôn đi qua. Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}x_0^2 + y_0^2 + (m + 2){x_0} - (m + 4){y_0} + m + 1 = 0  \,\,\,\,\,\forall m\\ \Leftrightarrow    ({x_0} - {y_0} + 1)m + x_0^2 + y_0^2 + 2{x_0} - 4{y_0} + 1 = 0   \,\,\,\,\,\forall m\\ \Leftrightarrow    \left\{ \begin{array}{l}{x_0} - {y_0} + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\x_0^2 + y_0^2 + 2{x_0} - 4{y_0} + 1 = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\end{array}\)

Từ (1) suy ra \(x_0=y_0-1,\) thay vào (2), ta được:

\({({y_0} - 1)^2} + y_0^2 + 2({y_0} - 1) - 4{y_0} + 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow       2y_0^2 - 4{y_0} = 0      \Leftrightarrow      \left[ \begin{array}{l}{y_0} = 0\\{y_0} = 2.\end{array} \right.\)

Với \(y_0=0\) thì \(x_0=-1\). Ta được điểm \(M_1(-1 ; 0).\)

Với \(y_0=2\) thì \(x_0=1.\) Ta được điểm \(M_1(1 ; 2).\)

Vậy họ đường tròn \((C_m)\) luôn đi qua hai điểm cố định là \(M_1(-1 ; 0)\) và \(M_2(1 ; 2).\)

d) (h.108).

 

\((C_m)\) không đi qua điểm \((x_1 ; y_1)\) với mọi \(m\) khi và chỉ khi phương trình (ẩn \(m\)) :

\(({x_1} - {y_1} + 1)m + x_1^2 + y_1^2 + 2{x_1} - 4{y_1} + 1 = 0\) vô nghiệm

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow    \left\{ \begin{array}{l}{x_1} - {y_1} + 1 = 0\\x_1^2 + y_1^2 + 2{x_1} - 4{y_1} + 1 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow    \left\{ \begin{array}{l}{y_1} = {x_1} + 1\\{x_1} \ne  \pm 1.\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ mà họ \((C_m)\) không bao giờ đi qua với mọi giá trị của \(m\) là đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(y=x+1\), bỏ đi hai điểm \(M_1(-1 ; 0)\) và \(M_2(1 ; 2).\)

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn SBT Toán 10 Nâng cao (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây:

Advertisements (Quảng cáo)