Bài 58 trang 109 SBT Hình 10 nâng cao...

Cho đường cong $(C_m)$ có phương trình:

${x^2} + {y^2} + (m + 2)x - (m + 4)y + m + 1 = 0$

a) Chứng minh rằng $(C_m)$ luôn là đường tròn với mọi giá trị của m.

b) Tìm tập hợp tâm các đường tròn $(C_m)$ khi m thay đổi.

c) Chứng minh rằng khi $m$ thay đổi, họ các đường tròn $(C_m)$ luôn đi qua hai điểm cố định.

d) Tìm những điểm trong mặt phẳng tọa độ mà họ $(C_m)$ không đi qua dù m lấy bất cứ giá trị nào.

a) Phương trình $(C_m)$ có dạng ${x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0$.

Với $a =  \dfrac{{m + 2}}{2} ,  b =  -  \dfrac{{m + 4}}{2} ,  c = m + 1$.

Ta có

${a^2} + {b^2} - c$

$= {\left( { \dfrac{{m + 2}}{2}} \right)^2} + {\left( { \dfrac{{m + 4}}{2}} \right)^2} - (m + 1)$

$=  \dfrac{{{m^2} + 4m + 8}}{2} > 0$ với mọi $m.$

Vậy $(C_m)$ là đường tròn với mọi giá trị của $m.$

b) Tọa độ tâm $I_m$ của đường tròn $(C_m)$ là $\left\{ \begin{array}{l}x =  -  \dfrac{{m + 2}}{2}\\y =  \dfrac{{m + 4}}{2}\end{array} \right.$

$\Rightarrow    \left\{ \begin{array}{l}2x =  - (m + 2)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\2y = m + 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$

Cộng từng vế của (1) và (2), ta được $2x+2y=2$ hay $x+y-1=0.$

Vậy tập hợp tâm của các đường tròn $(C_m)$ là đường thẳng có phương trình: $x+y-1=0.$

c) Gọi $M(x_0 ;y_0)$ là điểm cố định mà họ $(C_m)$ luôn đi qua. Khi đó ta có

$\begin{array}{l}x_0^2 + y_0^2 + (m + 2){x_0} - (m + 4){y_0} + m + 1 = 0  \,\,\,\,\,\forall m\\ \Leftrightarrow    ({x_0} - {y_0} + 1)m + x_0^2 + y_0^2 + 2{x_0} - 4{y_0} + 1 = 0   \,\,\,\,\,\forall m\\ \Leftrightarrow    \left\{ \begin{array}{l}{x_0} - {y_0} + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\x_0^2 + y_0^2 + 2{x_0} - 4{y_0} + 1 = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\end{array}$

Từ (1) suy ra $x_0=y_0-1,$ thay vào (2), ta được:

${({y_0} - 1)^2} + y_0^2 + 2({y_0} - 1) - 4{y_0} + 1 = 0$

$\Leftrightarrow       2y_0^2 - 4{y_0} = 0      \Leftrightarrow      \left[ \begin{array}{l}{y_0} = 0\\{y_0} = 2.\end{array} \right.$

Với $y_0=0$ thì $x_0=-1$. Ta được điểm $M_1(-1 ; 0).$

Với $y_0=2$ thì $x_0=1.$ Ta được điểm $M_1(1 ; 2).$

Vậy họ đường tròn $(C_m)$ luôn đi qua hai điểm cố định là $M_1(-1 ; 0)$ và $M_2(1 ; 2).$

d) (h.108).

$(C_m)$ không đi qua điểm $(x_1 ; y_1)$ với mọi $m$ khi và chỉ khi phương trình (ẩn $m$) :

$({x_1} - {y_1} + 1)m + x_1^2 + y_1^2 + 2{x_1} - 4{y_1} + 1 = 0$ vô nghiệm

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow    \left\{ \begin{array}{l}{x_1} - {y_1} + 1 = 0\\x_1^2 + y_1^2 + 2{x_1} - 4{y_1} + 1 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow    \left\{ \begin{array}{l}{y_1} = {x_1} + 1\\{x_1} \ne  \pm 1.\end{array} \right.\end{array}$

Vậy tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ mà họ $(C_m)$ không bao giờ đi qua với mọi giá trị của $m$ là đường thẳng $\Delta$ có phương trình $y=x+1$, bỏ đi hai điểm $M_1(-1 ; 0)$ và $M_2(1 ; 2).$