Bài 76 trang 115 SBT Hình 10 nâng cao: Bài 6. Đường hypebol....

Cho số $m > 0$. Chứng minh rằng hypebol $(H)$ có các tiêu điểm ${F_1}( - m ;  - m), {F_2}(m ; m)$ và giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm trên $(H)$ tới các tiêu điểm là $2m,$ có phương trình   $xy =  \dfrac{{{m^2}}}{2}$.

Xét điểm tùy ý $M(x ; y)  \in (H)$. Ta có

$\begin{array}{l}M \in (H)   \Leftrightarrow   |M{F_1} - M{F_2}| = 2m\\ \Leftrightarrow    \left| {\sqrt {{{(x + m)}^2} + {{(y + m)}^2}}  - \sqrt {{{(x - m)}^2} + {{(y - m)}^2}} } \right| = 2m\\ \Leftrightarrow     {(x + m)^2} + {(y + m)^2}  + {(x - m)^2} + {(y - m)^2}\\ - 2\sqrt {{{(x + m)}^2} + {{(y + m)}^2}} .\sqrt {{{(x - m)}^2} + {{(y - m)}^2}}     = 4{m^2} \\ \Leftrightarrow    {x^2} + {y^2} = \sqrt {{x^2} + {y^2} + 2{m^2} + (2mx + 2my)} \\.\sqrt {{x^2} + {y^2} + 2{m^2} - (2mx + 2my)} \\ \Leftrightarrow    {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} = {\left( {{x^2} + {y^2} + 2{m^2}} \right)^2} - {(2mx + 2my)^2}\\ \Leftrightarrow   xy =  \dfrac{{{m^2}}}{2}.\end{array}$

Chú ý rằng: Với $m = \sqrt 2$ ta có hypebol $y =  \dfrac{1}{x}$.