Bài 87 trang 118 SBT Hình học 10 Nâng cao: Bài 7. Đường parabol...

a) Dùng định nghĩa parabol để lập phương trình của parabol có tiêu điểm $F(2 ; 1)$ và đường chuẩn $\Delta : x+y+1=0.$

b) Chứng minh rằng parabol $(P)$ có tiêu điểm $F\left( { -  \dfrac{b}{{2a}} ;  \dfrac{{1 - {b^2} + 4ac}}{{4a}}} \right)$ và đường chuẩn $\Delta : y +  \dfrac{{1 + {b^2} - 4ac}}{{4a}} = 0$ có phương trình $y = a{x^2} + bx + c$.

a) Kí hiệu $(P)$ là parabol có tiêu điểm $F$ và đường chuẩn $\Delta$.

$\begin{array}{l}M(x ; y)  \in (P) \\  \Leftrightarrow    MF = d(M ; \Delta )  \\ \Leftrightarrow M{F^2} = {d^2}(M ; \Delta )\\ \Leftrightarrow   {(x - 2)^2} + {(y - 1)^2}\\ =  \dfrac{{{{(x + y + 1)}^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2xy - 10x - 6y + 9 = 0.\end{array}$

Vậy $(P)$ có phương trình : ${x^2} + {y^2} - 2xy - 10x - 6y + 9 = 0$.

b) Xét điểm tùy ý $M(x ; y)  \in (P)$, hãy biến đổi điều kiện $MF = d(M ; \Delta )$ qua tọa độ, dẫn đến phương trình $y = a{x^2} + bx + c$.