Bài 88 trang 51 SBT Hình 10 nâng cao: (h.75)....

Cho điểm $D$ nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $\widehat {DAB} = \widehat {DBC} = \widehat {DCA} = \varphi .$ Chứng minh rằng:

a) ${\sin ^3}\varphi  = \sin (A - \varphi )$$.\sin (B - \varphi ).\sin (C - \varphi ).$

b) $\cot \varphi  = \cot A + \cot B + \cot C.$

Giải

(h.75).

a) Theo định lí sin, trong tam giác $ABD$ ta có

$\dfrac{{DB}}{{\sin \varphi }} = \dfrac{{AD}}{{\sin (B - \varphi )}}$ ,     (1)

trong tam giác BCD có

$\dfrac{{CD}}{{\sin \varphi }} = \dfrac{{BD}}{{\sin (C - \varphi )}}$,      (2)

trong tam giác $ACD$ có

$\dfrac{{AD}}{{\sin \varphi }} = \dfrac{{CD}}{{\sin (A - \varphi )}}$.

Từ đó ta có

$\dfrac{{AD.BD.CD}}{{{{\sin }^3}\varphi }}$

$= \dfrac{{AD.BD.CD}}{{\sin (A - \varphi )\sin (B - \varphi )\sin (C - \varphi )}}$.

Suy ra đẳng thức cần chứng minh.

b) Áp dụng định lí cosin vào tam giác $DAB$ ta có

$B{D^2}$$= A{B^2} + A{D^2} - 2.AB.AD.\cos \varphi.$

Mặt khác, $\dfrac{1}{2}AB.AD.\sin \varphi  = {S_{ABD}}$ .

Từ đó suy ra $B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 4{S_{ABD}}.\cot \varphi$.

Tương tự ta cũng có $C{D^2} = B{C^2} + B{D^2} - 4{S_{DBC}}.\cot \varphi  ;$ $A{D^2} = A{C^2} + C{D^2} - 4{S_{DCA}}.\cot \varphi.$

Cộng theo vế rồi biến đổi, chú ý rằng tổng diện tích ba tam giác nhỏ bằng diện tích $S$ của tam giác $ABC$, ta được

$\cot \varphi  = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4S}}$ $= \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}}R.$

Theo bài 58 chương II, $\cot A + \cot B + \cot C$ $= \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}}R.$

Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh.