Bài 86 trang 51 SBT Hình 10 nâng cao:  ...

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat A = {60^0} ,  a = 10 ,  r = \dfrac{{5\sqrt 3 }}{3}$.

a) Tính $R.$

b) Tính $b, c.$

Giải

a) Ta có

$2R = \dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{{10}}{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{20\sqrt 3 }}{3}$

$\Rightarrow  R = \dfrac{{10\sqrt 3 }}{3}$.

b) Gọi $M, N, P$ lần lượt là các tiếp điểm của $BC, CA, AB$ với đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ (h.72).

Ta có $AP = AN = r.\cot {30^0} = 5 ;$

$BP + NC = BM + MC = a = 10$.

Từ đó ta có $(b - AN) + (c - AP) = 10$  hay  $b+c=20.$    (1)

Theo định lí cosin

${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos {60^0}$ hay ${a^2} = {(b + c)^2} - 2bc - bc$, suy ra

$bc = \dfrac{{{{(b + c)}^2} - {a^2}}}{3}$ $= \dfrac{{{{20}^2} - {{10}^2}}}{3} = 100$            (2)

Từ (1) và (2) suy ra $b, c$ là nghiệm của phương trình bậc hai ${x^2} - 20x + 100 = 0$.

Phương trình này có nghiệm kép $b=c=10$ nên $ABC$ là tam giác đều.