Trang chủ Lớp 10 SBT Toán 10 Nâng cao (sách cũ) Bài 91 trang 52 SBT Hình học 10 Nâng cao: Chứng minh

Bài 91 trang 52 SBT Hình học 10 Nâng cao: Chứng minh...

Bài 91 trang 52 SBT Hình học 10 Nâng cao. \(\overrightarrow {A’B} .\overrightarrow {A’C}  =  - \overrightarrow {A’H} .\overrightarrow {A’A}. \). Bài tập Ôn tập chương II - Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Trong tam giác \(ABC\) kẻ các đường cao \(AA’, BB’, CC’\) và gọi \(H\) là trực tâm của tam giác.

a) Chứng minh

\(\overrightarrow {A’B} .\overrightarrow {A’C}  =  - \overrightarrow {A’H} .\overrightarrow {A’A}. \)

b) Gọi \(J\) là một giao điểm của \(AA’\) với đường tròn \((C)\) đường kính \(BC\). Chứng minh rằng các đường thẳng \(BC, B’C’\) và tiếp tuyến tại \(J\) của \((C)\) đồng quy.

Giải

(h.78).

 

a) Lấy điểm \(H_1\) đối xứng với \(H\) qua \(A’\) hay \(\overrightarrow {A’H}  =  - \overrightarrow {A'{H_1}} \).

Khi đó, \(\widehat {B{H_1}C} = \widehat {BHC} = \widehat {B’HC’} = {180^0} - \widehat A\).

Advertisements (Quảng cáo)

Suy ra \(ABH_1C\) là tứ giác nội tiếp, do đó

\(\overrightarrow {A’B} .\overrightarrow {A’C}  = \overrightarrow {A'{H_1}.} \overrightarrow {A’A}  =  - \overrightarrow {A’H} .\overrightarrow {A’A} \).

b) Đường tròn \((C)\) và đường tròn tâm \(I\) đường kính \(HA\) có \(B’C’\) là trục đẳng phương. Kẻ tiếp tuyến của \((C)\) tại \(J\) cắt đường thẳng \(BC\) ở \(K\) thì \(K{J^2} = \overrightarrow {KB} .\overrightarrow {KC}  = {\wp _{K/(C)}}\).

Ta hãy tính phương tích của \(K\) đối với đường tròn tâm \(I\):

\(\begin{array}{l}{\wp _{K/(I)}} = K{I^2} - {\left( {\dfrac{{AH}}{2}} \right)^2}\\ = KA{‘^2} + {\overrightarrow {A’I} ^2} - {\left( {\dfrac{{\overrightarrow {AH} }}{2}} \right)^2}\\              = KA{‘^2} + {\left( {\dfrac{{\overrightarrow {A’A}  + \overrightarrow {A’H} }}{2}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{{\overrightarrow {A’H}  - \overrightarrow {A’A} }}{2}} \right)^2}\\              = KA{‘^2} + \overrightarrow {A’H} .\overrightarrow {A’A} \end{array}\)

Theo câu a), \(\overrightarrow {A’H} .\overrightarrow {A’A}  =  - \overrightarrow {A’B} .\overrightarrow {A’C} \).

Mặt khác , ta có \(\widehat {BJC} = {90^0}\) ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) và \(JA’ \bot BC\) nên \(A'{J^2} =  - \overrightarrow {A’B} .\overrightarrow {A’C} \).

Vậy \({\wp _{K/(I)}} = KA{‘^2} + A'{J^2} = K{J^2} = {\wp _{K/(C)}}\), suy ra \(K\) thuộc trục đẳng phương \(B’C’\). Vậy ba đường thẳng \(BC, B’C’\) và tiếp tuyến tại \(J\) của \((C)\) đồng quy ở \(K\).

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn SBT Toán 10 Nâng cao (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây: