Trang chủ Lớp 10 SBT Toán 10 Nâng cao Bài 91 trang 52 SBT Hình học 10 Nâng cao: Chứng minh

Bài 91 trang 52 SBT Hình học 10 Nâng cao: Chứng minh...

Bài 91 trang 52 SBT Hình học 10 Nâng cao. \(\overrightarrow {A’B} .\overrightarrow {A’C}  =  – \overrightarrow {A’H} .\overrightarrow {A’A}. \). Bài tập Ôn tập chương II – Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Advertisements (Quảng cáo)

Trong tam giác \(ABC\) kẻ các đường cao \(AA’, BB’, CC’\) và gọi \(H\) là trực tâm của tam giác.

a) Chứng minh

\(\overrightarrow {A’B} .\overrightarrow {A’C}  =  – \overrightarrow {A’H} .\overrightarrow {A’A}. \)

b) Gọi \(J\) là một giao điểm của \(AA’\) với đường tròn \((C)\) đường kính \(BC\). Chứng minh rằng các đường thẳng \(BC, B’C’\) và tiếp tuyến tại \(J\) của \((C)\) đồng quy.

Giải

(h.78).

 

a) Lấy điểm \(H_1\) đối xứng với \(H\) qua \(A’\) hay \(\overrightarrow {A’H}  =  – \overrightarrow {A'{H_1}} \).

Khi đó, \(\widehat {B{H_1}C} = \widehat {BHC} = \widehat {B’HC’} = {180^0} – \widehat A\).

Suy ra \(ABH_1C\) là tứ giác nội tiếp, do đó

Advertisements (Quảng cáo)

\(\overrightarrow {A’B} .\overrightarrow {A’C}  = \overrightarrow {A'{H_1}.} \overrightarrow {A’A}  =  – \overrightarrow {A’H} .\overrightarrow {A’A} \).

b) Đường tròn \((C)\) và đường tròn tâm \(I\) đường kính \(HA\) có \(B’C’\) là trục đẳng phương. Kẻ tiếp tuyến của \((C)\) tại \(J\) cắt đường thẳng \(BC\) ở \(K\) thì \(K{J^2} = \overrightarrow {KB} .\overrightarrow {KC}  = {\wp _{K/(C)}}\).

Ta hãy tính phương tích của \(K\) đối với đường tròn tâm \(I\):

\(\begin{array}{l}{\wp _{K/(I)}} = K{I^2} – {\left( {\dfrac{{AH}}{2}} \right)^2}\\ = KA{‘^2} + {\overrightarrow {A’I} ^2} – {\left( {\dfrac{{\overrightarrow {AH} }}{2}} \right)^2}\\              = KA{‘^2} + {\left( {\dfrac{{\overrightarrow {A’A}  + \overrightarrow {A’H} }}{2}} \right)^2} – {\left( {\dfrac{{\overrightarrow {A’H}  – \overrightarrow {A’A} }}{2}} \right)^2}\\              = KA{‘^2} + \overrightarrow {A’H} .\overrightarrow {A’A} \end{array}\)

Theo câu a), \(\overrightarrow {A’H} .\overrightarrow {A’A}  =  – \overrightarrow {A’B} .\overrightarrow {A’C} \).

Mặt khác , ta có \(\widehat {BJC} = {90^0}\) ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) và \(JA’ \bot BC\) nên \(A'{J^2} =  – \overrightarrow {A’B} .\overrightarrow {A’C} \).

Vậy \({\wp _{K/(I)}} = KA{‘^2} + A'{J^2} = K{J^2} = {\wp _{K/(C)}}\), suy ra \(K\) thuộc trục đẳng phương \(B’C’\). Vậy ba đường thẳng \(BC, B’C’\) và tiếp tuyến tại \(J\) của \((C)\) đồng quy ở \(K\).