Trong tam giác ABC kẻ các đường cao AA′,BB′,CC′ và gọi H là trực tâm của tam giác.
a) Chứng minh
→A′B.→A′C=−→A′H.→A′A.
b) Gọi J là một giao điểm của AA′ với đường tròn (C) đường kính BC. Chứng minh rằng các đường thẳng BC,B′C′ và tiếp tuyến tại J của (C) đồng quy.
Giải
(h.78).
a) Lấy điểm H1 đối xứng với H qua A′ hay →A′H=−→A′H1.
Khi đó, ^BH1C=^BHC=^B′HC′=1800−ˆA.
Advertisements (Quảng cáo)
Suy ra ABH1C là tứ giác nội tiếp, do đó
→A′B.→A′C=→A′H1.→A′A=−→A′H.→A′A.
b) Đường tròn (C) và đường tròn tâm I đường kính HA có B′C′ là trục đẳng phương. Kẻ tiếp tuyến của (C) tại J cắt đường thẳng BC ở K thì KJ2=→KB.→KC=℘K/(C).
Ta hãy tính phương tích của K đối với đường tròn tâm I:
\begin{array}{l}{\wp _{K/(I)}} = K{I^2} - {\left( {\dfrac{{AH}}{2}} \right)^2}\\ = KA{‘^2} + {\overrightarrow {A’I} ^2} - {\left( {\dfrac{{\overrightarrow {AH} }}{2}} \right)^2}\\ = KA{‘^2} + {\left( {\dfrac{{\overrightarrow {A’A} + \overrightarrow {A’H} }}{2}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{{\overrightarrow {A’H} - \overrightarrow {A’A} }}{2}} \right)^2}\\ = KA{‘^2} + \overrightarrow {A’H} .\overrightarrow {A’A} \end{array}
Theo câu a), \overrightarrow {A’H} .\overrightarrow {A’A} = - \overrightarrow {A’B} .\overrightarrow {A’C} .
Mặt khác , ta có \widehat {BJC} = {90^0} ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) và JA’ \bot BC nên A'{J^2} = - \overrightarrow {A’B} .\overrightarrow {A’C} .
Vậy {\wp _{K/(I)}} = KA{‘^2} + A'{J^2} = K{J^2} = {\wp _{K/(C)}}, suy ra K thuộc trục đẳng phương B’C’. Vậy ba đường thẳng BC, B’C’ và tiếp tuyến tại J của (C) đồng quy ở K.