Advertisements (Quảng cáo)
Cho điểm \(M\) nằm trong đường tròn \((O)\) ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Kẻ các đường thẳng \(MA, MB, MC,\) chúng cắt lại đường tròn đó lần lượt ở \(A’, B’, C’\). Chứng minh rằng:
\(\dfrac{{{S_{A’B’C’}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{{{({R^2} – M{O^2})}^3}}}{{{{(MA.MB.MC)}^2}}}\).
Giải
(h.76).
\(\begin{array}{l}{S_{A’B’C’}} = \dfrac{{A’B’.B’C’.C’A’}}{{4R}}.\\{S_{ABC}} = \dfrac{{AB.BC.CA}}{{4R}}.\end{array}\)
Suy ra \(\dfrac{{{S_{A’B’C’}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{A’B’.B’C’.C’A’}}{{AB.BC.CA}}\) (*)
Ta lại có
Advertisements (Quảng cáo)
\(\Delta MAB \sim \Delta MB’A’\) nên \(\dfrac{{A’B’}}{{AB}} = \dfrac{{MA’}}{{MB}} = \dfrac{{MA.MA’}}{{MA.MB}}\).
Do \(MA.MA’ = |{\wp _{M/(O)}}| = {R^2} – M{O^2}\) nên \(\dfrac{{A’B’}}{{AB}} = \dfrac{{{R^2} – M{O^2}}}{{MA.MB}}\).
Tương tự
\(\dfrac{{B’C’}}{{BC}} = \dfrac{{{R^2} – M{O^2}}}{{MB.MC}} ;\) \( \dfrac{{C’A’}}{{CA}} = \dfrac{{{R^2} – M{O^2}}}{{MC.MA}}\) (**)
Thay (**) vào (*) ta được điều phải chứng minh.