Bài 89 trang 52 SBT Hình học 10 Nâng cao: (h.76)....

Cho điểm $M$ nằm trong đường tròn $(O)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$. Kẻ các đường thẳng $MA, MB, MC,$ chúng cắt lại đường tròn đó lần lượt ở $A’, B’, C’$. Chứng minh rằng:

$\dfrac{{{S_{A’B’C’}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{{{({R^2} - M{O^2})}^3}}}{{{{(MA.MB.MC)}^2}}}$.

Giải

(h.76).

$\begin{array}{l}{S_{A’B’C’}} = \dfrac{{A’B’.B’C’.C’A’}}{{4R}}.\\{S_{ABC}} = \dfrac{{AB.BC.CA}}{{4R}}.\end{array}$

Suy ra $\dfrac{{{S_{A’B’C’}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{A’B’.B’C’.C’A’}}{{AB.BC.CA}}$    (*)

Ta lại có

$\Delta MAB  \sim \Delta MB’A’$ nên $\dfrac{{A’B’}}{{AB}} = \dfrac{{MA’}}{{MB}} = \dfrac{{MA.MA’}}{{MA.MB}}$.

Do $MA.MA’ = |{\wp _{M/(O)}}| = {R^2} - M{O^2}$ nên $\dfrac{{A’B’}}{{AB}} = \dfrac{{{R^2} - M{O^2}}}{{MA.MB}}$.

Tương tự 

$\dfrac{{B’C’}}{{BC}} = \dfrac{{{R^2} - M{O^2}}}{{MB.MC}}  ;$ $\dfrac{{C’A’}}{{CA}} = \dfrac{{{R^2} - M{O^2}}}{{MC.MA}}$            (**)

Thay (**) vào (*) ta được điều phải chứng minh.