Bài 96 trang 121 SBT Hình 10 nâng cao: (h.125)....

Chứng minh rằng mỗi đường chuẩn của hypebol luôn đi qua chân các đường vuông góc kẻ từ tiêu điểm tương ứng tới hai đường tiệm cận.

(h.125).

Xét hypebol $(H):  \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} -  \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$. $(H)$ có

Các tiêu điểm : ${F_1}( - c ; 0) ,  {F_2}(c ; 0)$.

Các đường chuẩn: ${d_1}:  x =  -  \dfrac{a}{e} =  -  \dfrac{{{a^2}}}{c} ,$ ${d_2}:  x =  \dfrac{a}{e} =  \dfrac{{{a^2}}}{c}$

Các tiệm cận :

 $\begin{array}{l}{\Delta _1}:  y =  -  \dfrac{b}{a}x    \Leftrightarrow  \dfrac{x}{a} +  \dfrac{y}{b} = 0\\{\Delta _2}: y =  \dfrac{b}{a}x    \Leftrightarrow  \dfrac{x}{a} -  \dfrac{y}{b} = 0.\end{array}$

Gọi $H = {d_2} \cap {\Delta _2}$. Suy ra tọa độ của $H$ bằng $\left( { \dfrac{{{a^2}}}{c} ;  \dfrac{{ab}}{c}} \right)$.Do đó

$\begin{array}{l}\overrightarrow {OH}  = \left( { \dfrac{{{a^2}}}{c} ;  \dfrac{{ab}}{c}} \right)  ; \\   \overrightarrow {H{F_2}}  = \left( {c -  \dfrac{{{a^2}}}{c} ;  -  \dfrac{{ab}}{c}} \right).\\\overrightarrow {OH} .\overrightarrow {H{F_2}} \\ =  \dfrac{{{a^2}}}{c}\left( {c -  \dfrac{{{a^2}}}{c}} \right) +  \dfrac{{ab}}{c}\left( { -  \dfrac{{ab}}{c}} \right)\\= {a^2} -  \dfrac{{{a^4}}}{{{c^2}}} -  \dfrac{{{a^2}{b^2}}}{{{c^2}}}\\ = {a^2} -  \dfrac{{{a^2}}}{{{c^2}}}\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \\= {a^2} -  \dfrac{{{a^2}}}{{{c^2}}}.{c^2} = 0\end{array}$

Vậy $OH \bot {F_2}H$. Do $(H)$ nhận $Ox, Oy$ làm các trục đối xứng và ${\Delta _1} ,  {\Delta _2}$ cũng nhận $Ox, Oy$ làm các trục đối xứng nên ta suy ra điều cần chứng minh.