Bài 97 trang 121 Sách bài tập Toán Nâng cao Hình 10: (h.126)....

Một đường thẳng đi qua tiêu điểm $F(c ; 0)$ của elip $(E):  \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} +  \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$  $(a>b>0)$ và cắt nó tại hai điểm $A, B$. Chứng minh rằng đường tròn đường kính $AB$ không có điểm chung với đường chuẩn :$x =  \dfrac{a}{e}$.

(h.126).

Gọi $I$ là trung điểm của $AB; A’, B’, I’$ lần lượt là hình chiếu của $A, B, I$ trên đường chuẩn ${d_2}:  x =  \dfrac{{{a^2}}}{c}$.

Ta sẽ chứng minh:

$II’ >  \dfrac{{AB}}{2}   \Leftrightarrow   AA’ + BB’ > AB$.

Ta có

$AB = AF + BF = e.AA’ + e.BB’$

$= e(AA’ + BB’) < AA’ + BB’ = 2II’$ (do $e<1$). Suy ra điều cần chứng minh.