Advertisements (Quảng cáo)
Có thể nói gì về các tập A và B nếu các đẳng thức tập hợp sau là đúng :
a. \(A \cup B = A;\)
b. \(A \cap B = A;\)
c. \(A\backslash B = A;\)
d. \(A\backslash B = B\backslash A\).
a. Nếu \(A \cup B = A\) thì B là tập con của A vì theo định nghĩa ta luôn có \(B \subset A \cup B.\) Dễ kiểm tra rằng điều ngược lại cũng đúng. Vậy \(A \cup B = A\) nếu và chỉ nếu B là tập con của A.
b. Nếu \(A \cap B = A\) thì A là tập con của B vì theo định nghĩa ta luôn có \(A \cap B \subset B\)
c. Nếu \(A \backslash B = A\) thì hai tập A và B phải không giao nhau. Thật vậy, nếu tồn tại \(x \in A\) và \(x \in B\) thì do \(A = A \backslash B\) nên \(x \in A\backslash B\). Suy ra x không thuộc B (mâu thuẫn). Ngược lại, bằng cách vẽ biểu đồ Ven dễ thấy nếu \(A \cap B = \emptyset \) thì \(A \backslash B = A\) cũng đúng. Vậy \(A \backslash B = A\) nếu và chỉ nếu \(A \cap B = \emptyset \)
d. Nếu \(A \backslash B = B \backslash A\) thì \(A = B\). Thật vậy nếu \(A ≠ B\) thì phải có một phần tử của tập này nhưng không thuộc tập kia, chẳng hạn \(x \in A\) và \(x \notin B\) suy ra \(x \in A\backslash B\) nên \(x \in B\backslash A\) do đó \(x \in B\) và \(x \notin A\) (mâu thuẫn). Dễ kiểm tra rằng điều ngược lại cũng đúng. Vậy \(A \backslash B = B \backslash A\) nếu và chỉ nếu \(A = B\).