Câu 1.29 trang 11 Sách BT Đại số 10 Nâng cao: Bài 3. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp...

Có thể nói gì về các tập A và B nếu các đẳng thức tập hợp sau là đúng :

a. $A \cup B = A;$  

b. $A \cap B = A;$  

c. $A\backslash B = A;$  

d. $A\backslash B = B\backslash A$.

a. Nếu $A \cup B = A$  thì B là tập con của A vì theo định nghĩa ta luôn có $B \subset A \cup B.$  Dễ kiểm tra rằng điều ngược lại cũng đúng. Vậy $A \cup B = A$  nếu và chỉ nếu B là tập con của A.

b. Nếu $A \cap B = A$  thì A là tập con của B vì theo định nghĩa ta luôn có $A \cap B \subset B$

c. Nếu $A \backslash B = A$ thì hai tập A và B phải không giao nhau. Thật vậy, nếu tồn tại $x \in A$ và $x \in B$ thì do $A = A \backslash B$ nên $x \in A\backslash B$. Suy ra x không thuộc B (mâu thuẫn). Ngược lại, bằng cách vẽ biểu đồ Ven dễ thấy nếu $A \cap B = \emptyset$ thì $A \backslash B = A$ cũng đúng. Vậy $A \backslash B = A$ nếu và chỉ nếu $A \cap B = \emptyset$

d. Nếu $A \backslash B = B  \backslash A$ thì $A = B$. Thật vậy nếu $A ≠ B$ thì phải có một phần tử của tập này nhưng không thuộc tập kia, chẳng hạn $x \in A$ và $x \notin B$ suy ra $x \in A\backslash B$ nên $x \in B\backslash A$ do đó $x \in B$ và $x \notin A$ (mâu thuẫn). Dễ kiểm tra rằng điều ngược lại cũng đúng. Vậy $A \backslash B = B \backslash A$ nếu và chỉ nếu $A = B$.