Câu 17 trang 240 Sách BT Đại số 10 Nâng cao: Chứng minh rằng đối với ba số a, b, c tùy ý, ta có...

a) Chứng minh rằng đối với ba số a, b, c tùy ý, ta có

$\left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right| \ge \left| {a + b + c} \right|.$

Đẳng thức xảy ra khi nào?

b) Áp dụng. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$f\left( x \right) = \left| {x + 2} \right| + \left| {x + 1} \right| + \left| {2x - 5} \right|.$

a) $\left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right|$

$= \left( {\left| a \right| + \left| b \right|} \right) + \left| c \right| \ge \left| {a + b} \right| + \left| c \right| \ge \left| {a + b + c} \right|$

Đẳng thức xảy ra khi:

$\left\{ \begin{array}{l}ab \ge 0\\\left( {a + b} \right)c \ge 0\end{array} \right.$ tức là $a \ge 0,b \ge 0,c \ge 0$ hoặc $a \le 0,b \le 0,c \le 0.$

b)

 $\begin{array}{l}f\left( x \right) = \left| {x + 2} \right| + \left| {x + 1} \right| + \left| {2x - 5} \right|\\ = \left| {x + 2} \right| + \left| {x + 1} \right| + \left| {5 - 2x} \right|\\ \ge \left| {x + 2 + x + 1 + 5 - 2x} \right| = 8\end{array}$

Đẳng thức xảy ra, chẳng hạn tại $x = 1$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $f\left( x \right)$ là 8.