Câu 15 trang 240 SBT Toán Đại 10 Nâng cao: So sánh các số sau đây...

So sánh các số sau đây

a) $\sqrt {2003}  + \sqrt {2004}$ và $\sqrt {2000}  + \sqrt {2007}$

b)  và $\sqrt n  + \sqrt {n + 7}$

c) $\sqrt a  + \sqrt b$ và $\sqrt {a - c}  + \sqrt {b + c}$, với $b > a > c > 0$.

a) $\sqrt {2003}  + \sqrt {2004}  > \sqrt {2000}  + \sqrt {2007} ;$

b) $\sqrt {n + 3}  + \sqrt {n + 4}  > \sqrt n  + \sqrt {n + 7} \left( {n \ge 0} \right)$;

c) Nhận thấy ${\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)^2} = a + b + 2\sqrt {ab}$

${\left( {\sqrt {a - c}  + \sqrt {b + c} } \right)^2} = a + b + 2\sqrt {\left( {a - c} \right)\left( {b + c} \right)} ;$

Do $\left( {a - c} \right)\left( {b + c} \right) = ab + c\left( {a - b - c} \right) < ab$ (vì $b > a > c > 0$)

nên $2\sqrt {\left( {a - c} \right)\left( {b + c} \right)}  < 2\sqrt {ab} .$ Vì vậy $\sqrt a  + \sqrt b  > \sqrt {a - c}  + \sqrt {b + c} .$