So sánh các số sau đây
a) \(\sqrt {2003} + \sqrt {2004} \) và \(\sqrt {2000} + \sqrt {2007} \)
b) và \(\sqrt n + \sqrt {n + 7} \)
c) \(\sqrt a + \sqrt b \) và \(\sqrt {a - c} + \sqrt {b + c} \), với \(b > a > c > 0\).
a) \(\sqrt {2003} + \sqrt {2004} > \sqrt {2000} + \sqrt {2007} ;\)
Advertisements (Quảng cáo)
b) \(\sqrt {n + 3} + \sqrt {n + 4} > \sqrt n + \sqrt {n + 7} \left( {n \ge 0} \right)\);
c) Nhận thấy \({\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)^2} = a + b + 2\sqrt {ab} \)
\({\left( {\sqrt {a - c} + \sqrt {b + c} } \right)^2} = a + b + 2\sqrt {\left( {a - c} \right)\left( {b + c} \right)} ;\)
Do \(\left( {a - c} \right)\left( {b + c} \right) = ab + c\left( {a - b - c} \right) < ab\) (vì \(b > a > c > 0\))
nên \(2\sqrt {\left( {a - c} \right)\left( {b + c} \right)} < 2\sqrt {ab} .\) Vì vậy \(\sqrt a + \sqrt b > \sqrt {a - c} + \sqrt {b + c} .\)