Câu 2.35 trang 35 SBT Toán Đại 10 Nâng cao: Bài 3. Hàm số bậc hai...

a. Kí hiệu (P) là parabol $y = a{x^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right).$ Chứng minh rằng nếu một đường thẳng song song với trục hoành, cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ thì trung điểm $C$ của đoạn thẳng AB thuộc trục đối xứng của parabol $(P)$.

b. Một đường thẳng song song với trục hoành cắt đồ thị $(P)$ của một hàm số bậc hai tại hai điểm $M(-3 ; 3)$ và $N(1 ; 3)$. Hãy cho biết phương trình trục đối xứng của parabol $(P)$.

a. Ta đã biết trục đối xứng của parabol $y = a{x^2} + bx + c$ là đường thẳng $x =  - {b \over {2a}}$

Giả sử $(d)$ là đường thẳng đã cho (song song với trục hoành). Ta biết rằng (d) là đồ thị của hàm số không đổi $y = m$ với m là một số nào đó. Giả thiết cho $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ có nghĩa là phương trình $a{x^2} + bx + c = m$ hay

$a{x^2} + bx + c - m = 0$          (1)

Có hai điểm phân biệt ; hơn nữa, hai điểm ấy chính là các hoành độ $x_A$ của điểm $A$ và $x_B$ của điểm $B$. Theo định lí Vi-ét, ta có ${x_A} + {x_B} =  - {b \over a}.$

Do đó trung điểm $C$ của đoạn thẳng AB có hoành độ là ${x_C} = {{{x_A} + {x_B}} \over 2} =  - {b \over {2a}}.$

Điều đó chứng tỏ điểm $C$ thuộc đường thẳng $x =  - {b \over {2a}},$ tức là thuộc trục đối xứng của parabol $(P)$

Chú ý. Đường thẳng $(d)$ song song với trục hoành nên vuông góc với trục đối xứng của $(P)$. Do đó, khi $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm $A$ và $B$ thì hai điểm ấy đối xứng với nhau qua trục đối xứng với nhau qua trục đối xứng và trung điểm $C$ của đoạn $AB$ phải thuộc trục đối xứng.

b. Áp dụng kết quả trên, trung điểm $K$ của đoạn $MN$ phải thuộc trục đối xứng của parabol $(P)$. Điểm $K$ có hoành độ là ${{ - 3 + 1} \over 2} =  - 1.$ Vậy trục đối xứng của parabol $(P)$ có phương trình là $x = -1$.