Câu 2.36 trang 36 Sách BT Đại số 10 Nâng cao: Bảng biến thiên :...

Hàm số bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ có giá trị nhỏ nhất bằng ${3 \over 4}$ khi $x = {1 \over 2}$ và nhận giá trị bằng 1 khi $x = 1.$

a. Xác định các hệ số $a, b$ và $c$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(P)$ của hàm số nhận được.

b. Xét đường thẳng $y = mx$, kí hiệu bởi $(d)$. Khi $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm $A$ và $B$ phân biệt, hãy xác định tọa độ trung điểm của đoạn thẳng $AB.$

a. ● Vì hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng ${3 \over 4}$ khi $x = {1 \over 2}$ nên $- {b \over {2a}} = {1 \over 2}$ và $- {\Delta  \over {4a}} =  - {{{b^2} - 4ac} \over {4a}} = {3 \over 4},$ suy ra $a = -b$ và $–a + 4c = 3.$

Vì hàm số có giá trị bằng 1 khi $x = 1$ nên $f(1) = a + b + c = 1$, suy ra $c = 1$ (do $a = -b$). Do đó $a = 4c – 3 = 1$ và $b = -1$.

Vậy hàm số cần tìm là $y = {x^2} - x + 1$

●Do hệ số $a = 1 > 0$ và giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt được tại $x = {1 \over 2}$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;{1 \over 2}} \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( {{1 \over 2}; + \infty } \right).$

Bảng biến thiên :

Hàm số có đồ thị

b. Đường thẳng $y = mx$ cắt parabol $(P)$

tại hai điểm $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$ và $B\left( {{x_B};{y_B}} \right)$ nếu

và chỉ nếu phương trình ${x^2} - x + 1 = mx$ hay

${x^2} - \left( {1 + m} \right)x + 1 = 0$           (1)

Có hai nghiệm phân biệt, tức là biệt thức $\Delta  = {\left( {1 + m} \right)^2} - 4 = {m^2} + 2m - 3$ dương.

Khi đó, hai nghiệm của (1) chính là $x_A$ và $x_B$. Theo định lí Vi-ét, ta có

${x_A} + {x_B} = 1 + m$                  (2)

Từ (2) ta suy ra hoành độ trung điểm $C$ của đoạn thẳng $AB$ là

${x_C} = {{{x_A} + {x_B}} \over 2} = {{1 + m} \over 2}.$

Do $C$ là một điểm thuộc đường thẳng $(d)$ nên tung độ $y_C$ của nó thỏa mãn

${y_C} = m{x_C} = {{m\left( {1 + m} \right)} \over 2}$

Kết luận. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là $C\left( {{{1 + m} \over 2};{{m\left( {1 + m} \right)} \over 2}} \right)$ với điều kiện ${m^2} + 2m - 3 > 0.$