Tìm tất cả các giá trị dương của k để các nghiệm của phương trình
\(2{x^2} - \left( {k + 2} \right)x + 7 = {k^2}\)
Trái dấu nhau và có giá trị tuyệt đối là nghịch đảo của nhau.
k = 3.
Gợi ý. Gọi \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của phương trình.
Advertisements (Quảng cáo)
Áp dụng định lí Vi-ét và theo yêu cầu bài toán ta có \({x_2} = - \dfrac{1}{{{x_1}}}\) và
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = {x_1} - \dfrac{1}{{{x_1}}} = \dfrac{{k + 2}}{2}}\\{{x_1}{x_2} = {x_1}\left( {\dfrac{{ - 1}}{{{x_1}}}} \right) = - 1 = \dfrac{{7 - {k^2}}}{2}.}\end{array}} \right.\)
Từ \(\dfrac{{7 - {k^2}}}{2} = - 1\) ta có \({k^2} = 9,\) do k > 0 nên k = 3.
Với k = 3 nghiệm của phương trình là \({x_1} = \dfrac{{5 - \sqrt {41} }}{4},{x_2} = \dfrac{{5 + \sqrt {41} }}{4}\)