Câu 3.22 trang 61 Sách BT Đại số 10 Nâng cao: Tìm tất cả các giá trị dương của k để các nghiệm của phương trình...

Tìm tất cả các giá trị dương của k để các nghiệm của phương trình

$2{x^2} - \left( {k + 2} \right)x + 7 = {k^2}$

Trái dấu nhau và có giá trị tuyệt đối là nghịch đảo của nhau.

k = 3.

Gợi ý. Gọi ${x_1},{x_2}$ là nghiệm của phương trình.

Áp dụng định lí Vi-ét và theo yêu cầu bài toán ta có ${x_2} =  - \dfrac{1}{{{x_1}}}$ và

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = {x_1} - \dfrac{1}{{{x_1}}} = \dfrac{{k + 2}}{2}}\\{{x_1}{x_2} = {x_1}\left( {\dfrac{{ - 1}}{{{x_1}}}} \right) =  - 1 = \dfrac{{7 - {k^2}}}{2}.}\end{array}} \right.$

Từ $\dfrac{{7 - {k^2}}}{2} =  - 1$ ta có ${k^2} = 9,$ do k > 0 nên k = 3.

Với k = 3 nghiệm của phương trình là ${x_1} = \dfrac{{5 - \sqrt {41} }}{4},{x_2} = \dfrac{{5 + \sqrt {41} }}{4}$