Câu 3.26 trang 62 SBT Toán Đại 10 Nâng cao: Có bốn nghiệm ?...

Các hệ số a, b và c của phương trình trùng phương $a{x^2} + b{x^2} + c = 0$ phải thỏa mãn điều kiện gì để phương trình đó

a. Vô nghiệm ?

b. Có một nghiệm ?

c. Có hai nghiệm ?

d. Có ba nghiệm ?

e. Có bốn nghiệm ?

Đặt $y = {x^2},$ ta có phương trình bậc hai

$a{y^2} + by + c = 0$           (1)

a. Phương trình trùng phương đã cho vô nghiệm nếu và chỉ nếu

• Phương trình (1) vô nghiệm, tức là $\Delta  = {b^2} - 4ac < 0,$ hoặc

• Phương trình (1) chỉ có nghiệm âm, tức là $\Delta  \ge 0,ac > 0$ và $ab > 0$

($\dfrac{c}{a} > 0$ và ${\, - {b \over a} < 0}$)

b. Phương trình trùng phương đã cho có một nghiệm nếu và chỉ nếu phương trình (1) có một nghiệm y = 0, nghiệm kia không dương, tức là c = 0 và ab ≥ 0.

c. Phương trình trùng phương đã cho có hai nghiệm nếu và chỉ nếu

• Phương trình (1) có một nghiệm kép dương, tức là $\Delta  = 0$ và $ab < 0,$ hoặc

• Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu, tức là ac < 0.

d. Phương trình trùng phương đã cho có ba nghiệm nếu và chỉ nếu phương trình (1) có một nghiệm y = 0 và nghiệm kia dương, tức là c = 0 và ab < 0.

e. Phương trình trùng phương đã cho có bốn nghiệm nếu và chỉ nếu phương trình (1) có hai nghiệm dương, tức là ∆ > 0, ac > 0 và ab < 0.