Câu 3.24 trang 61 Sách BT Đại số 10 Nâng cao: Hãy tính tỉ số giữa tổng hai nghiệm và hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm nhỏ của phương trình đó....

Giả sử a, b là hai số thỏa mãn a > b > 0. Không giải phương trình

$ab{x^2} - \left( {a + b} \right)x + 1 = 0,$

Hãy tính tỉ số giữa tổng hai nghiệm và hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm nhỏ của phương trình đó.

Gọi ${x_1},{x_2}$ là nghiệm của phương trình sau cho ${x_1} > {x_2}$

Khi đó, do a > b > 0 nên

$\eqalign{& {x_1} - {x_2} = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \cr & = \sqrt {{{\left( {{{a + b} \over {ab}}} \right)}^2} - {4 \over {ab}}} = \sqrt {{{\left( {{{a - b} \over {ab}}} \right)}^2}} = {{a - b} \over {ab}} \cr & {x_1} + {x_2} = {{a + b} \over {ab}} \cr}$

Suy ra tỉ số giữa tổng và hiệu hai nghiệm bằng $\dfrac{{a + b}}{{a - b}}.$