Câu 3.21 trang 61 SBT Đại số 10 Nâng cao: Hãy biểu diễn các biểu thức sau đây qua các hệ số a, b và c...

Giả sử ${x_1}$ và ${x_2}$ là các nghiệm của phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0.$

Hãy biểu diễn các biểu thức sau đây qua các hệ số a, b và c

a. $x_1^2 + x_2^2$ ;

b. $x_1^3 + x_2^3$ ;

c. $\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}}$ ;

d. $x_1^2 - 4{x_1}{x_2} + x_2^2$

a. $x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}$

$= \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}} - 2\dfrac{c}{a} = \dfrac{{{b^2} - 2ac}}{{{a^2}}}.$

b. $x_1^3 + x_2^3 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)$

$= \dfrac{{3abc - {b^3}}}{{{a^3}}}$

c. $\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} = \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}$

$=  - \dfrac{b}{c}$

d. $x_1^2 - 4{x_1}{x_2} + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 6{x_1}{x_2}$

$= \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{6c}}{a} = \dfrac{{{b^2} - 6ac}}{{{a^2}}}$