Câu 3.20 trang 61 SBT Toán Đại 10 Nâng cao: Tìm tất cả các giá trị của a để hiệu hai nghiệm của phương trình sau bằng 1...

Tìm tất cả các giá trị của a để hiệu hai nghiệm của phương trình sau bằng 1

$2{x^2} - \left( {a + 1} \right)x + a + 3 = 0$

$a \in \left\{ { - 3;9} \right\}.$ Gợi ý. Điều kiện để phương trình có nghiệm là

$\Delta  = {\left( {a + 1} \right)^2} - 8\left( {a + 3} \right) \ge 0$

$\Leftrightarrow {a^2} - 6a - 23 \ge 0.$        (*)

Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là ${x_1},{x_2}$ (giả sử ${x_2} > {x_1}$)

Theo định lí Vi-ét ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = \dfrac{{a + 1}}{2}}\\{{x_1}{x_2} = \dfrac{{a + 3}}{2}.}\end{array}} \right.$

Do ${x_2} - {x_1} = 1$ nên ${\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 1,$ suy ra

$\dfrac{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{4} - 2\left( {a + 3} \right) = 1$

\Leftrightarrow {a^2} - 6a - 27 = 0\)

$\Leftrightarrow a = 9$ hoặc $a =  - 3$

Rõ ràng cả hai giá trị này đều thỏa mãn (*) vì ${a^2} - 6a - 23 = 4 > 0.$