Advertisements (Quảng cáo)
Tìm tất cả các giá trị của a để hiệu hai nghiệm của phương trình sau bằng 1
\(2{x^2} – \left( {a + 1} \right)x + a + 3 = 0\)
\(a \in \left\{ { – 3;9} \right\}.\) Gợi ý. Điều kiện để phương trình có nghiệm là
\(\Delta = {\left( {a + 1} \right)^2} – 8\left( {a + 3} \right) \ge 0\)
\(\Leftrightarrow {a^2} – 6a – 23 \ge 0.\) (*)
Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là \({x_1},{x_2}\) (giả sử \({x_2} > {x_1}\))
Theo định lí Vi-ét ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = \dfrac{{a + 1}}{2}}\\{{x_1}{x_2} = \dfrac{{a + 3}}{2}.}\end{array}} \right.\)
Advertisements (Quảng cáo)
Do \({x_2} – {x_1} = 1\) nên \({\left( {{x_2} – {x_1}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 4{x_1}{x_2} = 1,\) suy ra
\(\dfrac{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{4} – 2\left( {a + 3} \right) = 1\)
\Leftrightarrow {a^2} – 6a – 27 = 0\)
\(\Leftrightarrow a = 9\) hoặc \(a = – 3\)
Rõ ràng cả hai giá trị này đều thỏa mãn (*) vì \({a^2} – 6a – 23 = 4 > 0.\)