Câu 3.30 trang 63 Sách BT Đại số 10 Nâng cao: Bài 3. Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai...

Giải các phương trình :

a. $\dfrac{{4x}}{{{x^2} + x + 3}} + \dfrac{{5x}}{{{x^2} - 5x + 3}} =  - \dfrac{3}{2}$

b. $\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{{x - 2}}{{x + 3}} = \dfrac{{x - 4}}{{x + 5}} - \dfrac{{x - 5}}{{x + 6}}$

a. Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm, nên phương trình đã cho tương đương với phương trình :

$\dfrac{4}{{x + \dfrac{3}{x} + 1}} + \dfrac{5}{{x + \dfrac{3}{x} - 5}} =  - \dfrac{3}{2}$

Đặt $y = x + \dfrac{3}{x}$ ta nhận được phương trình

$\dfrac{4}{{y + 1}} + \dfrac{5}{{y - 5}} =  - \dfrac{3}{2}$ (*)

Biến đổi phương trình (*) thành $\dfrac{{{y^2} + 2y - 15}}{{\left( {y + 1} \right)\left( {y - 5} \right)}} = 0.$ Phương trình này có hai nghiệm ${y_1} =  - 5,{y_2} = 3.$ Từ đó dẫn đến hai trường hợp sau : 

$\bullet x + {3 \over x} = - 5 \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{x^2} + 5x + 3 = 0} \cr {x \ne 0} \cr} } \right.$

$\Leftrightarrow x = {{ - 5 \pm \sqrt {13} } \over 2}$

$\bullet x + {3 \over x} = 3 \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{x^2} - 3x + 3 = 0} \cr {x \ne 0} \cr} } \right.$

Kết luận. Phương trình có nghiệm $x = \dfrac{{ - 5 \pm \sqrt {13} }}{2}$

b. $x \in \left\{ { - 4; - \dfrac{1}{2}} \right\}$