Câu 3.64 trang 69 SBT Đại số 10 Nâng cao: Từ đó ta có hai kết quả sau :...

Cho hai phương trình ${x^2} - 5x + k = 0\,\left( 1 \right)$ và ${x^2} - 7x + 2k = 0\,\left( 2 \right)$

a. Với giá trị nào của k thì phương trình (1) có hai nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia ?

b. Với giá trị nào của k thì phương trình (2) có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$ thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 = 25\,?$

c. Với giá trị nào của k thì cả hai phương trình cùng có nghiệm và một trong các nghiệm của phương trình (2) gấp đôi một trong các nghiệm của phương trình (1) ?

a. Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm là ${\Delta _1} = 25 - 4k \ge 0.$ Với điều kiện đó, gọi hai nghiệm của (1) là $x_1$ và $x_2$. Theo điều kiện của đề bài, ta có :

$\left\{ \matrix{{x_1} + {x_2} = 5 \hfill \cr {x_1}{x_2} = k \hfill \cr {x_2} = 2x_1 \hfill \cr} \right.$

Từ đó suy ra $k = \dfrac{{50}}{9}.$ Khi đó, (1) có hai nghiệm là ${x_1} = \dfrac{5}{3}$ và ${x_2} = \dfrac{{10}}{3}$

Chú ý. Trong mỗi lời giải trên, ta nên lựa chọn cách đánh số các nghiệm sao cho “nghiệm này gấp đôi nghiệm kia” được thể hiện bởi hệ thức $x_2 = 2x$. Nếu không lựa chọn cách đánh số các nghiệm như vậy thì điều kiện “nghiệm này gấp đôi nghiệm kia” được diễn tả bởi hệ thức $\left( x_1 - 2x_2 \right)\left( x_2 - 2 x_1 \right) = 0.$

b. Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm là ${\Delta _2} = 49 - 8k \ge 0.$ Với điều kiện đó, gọi hai nghiệm của (1) là x₃ và x₄. Theo điều kiện của đề bài ta có :

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_3} + {x_4} = 7}\\{{x_3}{x_4} = 2k}\\{x_3^2 + {\rm{x}}_4^2 = 25}\end{array}} \right.$

Từ đó suy ra $k = 6$. Khi đó, (2) có nghiệm là $x_3=3$ và $x_4=4$.

c. Điều kiện để hai phương trình có nghiệm là ${\Delta _1} \ge 0$ và ${\Delta _2} \ge 0,$ tức là $k \le \dfrac{{49}}{8}.$ Với cùng kí hiệu như trên, theo đề bài ta có hệ :

$\left\{ {\matrix{{{x_1} + {x_2} = 5} \cr {{x_1}{x_2} = k} \cr {{x_3} + {x_4} = 7} \cr {{x_3}{x_4} = 2k} \cr {2{x_1} = {x_3}} \cr} } \right.$

Từ đó ta có hai kết quả sau :

• k = 0. Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm là $x_1=0$ và $x_2=5$, phương trình (2) có hai nghiệm $x_3=4$ và $x_4=7$ (thỏa mãn điều kiện của bài toán vì $x_3=2x_1$).

• k = 6. Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm $x_1=2$ và $x_2=3$, phương trình (2) có hai nghiệm $x_3=4$ và $x_4=3$ (thỏa mãn điều kiện của bài toán vì $x_3=2x_1$).