Giải các hệ phương trình sau :
a. {2x2−xy+3y2=7x+12y−1x−y+1=0
b. {(2x+3y−2)(x−5y−3)=0x−3y=1
c. {x2+y2+2x(y−3)+2y(x−3)+9=02(x+y)−xy+6=0
d. {x2−2y2=7xy2−2x2=7y
a. Từ phương trình thứ hai trong hệ ta rút y = x + 1 rồi thế vào phương trình thứ nhất và thu gọn thì được phương trình bậc hai 2x2−7x−4=0.
Phương trình này cho ta hai nghiệm x=−12 và x=4. Tương tự ta được hai nghiệm của hệ phương trình đã cho là (−12;12) và (4;5).
b. Ta có (2x + 3y – 2)(x – 5y – 3) = 0 ⇔ 2x + 3y = 2 hoặc x – 5y = 3. Do đó, hệ phương trình đã cho tương đương với
\left( I \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{\rm{x}} + 3y = 2}\\{x - 3y = 1}\end{array}} \right.
hoặc \left( {II} \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 5y = 3}\\{x - 3y = 1}\end{array}} \right.
Advertisements (Quảng cáo)
Hai hệ này cho ta hai nghiệm của hệ phương trình đã cho là (1 ; 0) và (-2 ; -1)
c. Đây là hệ phương trình đối xứng đối với hai ẩn. Do đó ta giải bằng cách đặt u = x + y và v = xy. Khi đó ta thu được hệ phương trình ẩn u và v
\left( {III} \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u^2} - 6u + 2v + 9 = 0}\\{2u - v + 6 = 0}\end{array}} \right.
Ta giải hệ phương trình (III) bằng phương pháp thế ; kết quả là hệ này vô nghiệm nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
d. Trừ từng vế hai phương trình của hệ ta được 3( x^2 - y^2) = 7(x-y)
Phương trình này tương đương với
\left( {IV} \right)\left\{ {\matrix{{{x^2} - 2{y^2} = 7x} \cr {x - y = 0} \cr} } \right. hoặc \,\left( V \right)\left\{ {\matrix{{{x^2} - 2{y^2} = 7x} \cr {3x + 3y - 7 = 0} \cr} } \right.
Hệ (IV) có hai nghiệm (0 ; 0) và (-7 ; -7) ; hệ (V) vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (0 ; 0) và (-7 ; -7).