Trang chủ Lớp 10 SBT Toán 10 Nâng cao (sách cũ) Câu 3.66 trang 69 SBT Toán Đại 10 Nâng cao: Bài tập...

Câu 3.66 trang 69 SBT Toán Đại 10 Nâng cao: Bài tập Ôn tập chương III - Phương trình bậc nhất và bậc hai...

Câu 3.66 trang 69 SBT Đại số 10 Nâng cao. Giải hai hệ phương trình trên, ta được 4 nghiệm của hệ phương trình đã cho là. Bài tập Ôn tập chương III - Phương trình bậc nhất và bậc hai

Cho hệ phương trình \(\left\{ \matrix{{x^2} + {y^2} = 2\left( {a + 1} \right) \hfill \cr {\left( {x + y} \right)^2} = 4 \hfill \cr} \right.\)

a. Giải hệ phương trình với a = 2.

b. Tìm các giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất.

a. Với a = 2, ta có hệ \(\left\{ {\matrix{{{x^2} + {y^2} = 6} \cr {{{\left( {x + y} \right)}^2} = 4.} \cr} } \right.\)

Đặt \(u = x + y\) và \(v = xy\), ta được hệ phương trình ẩn là u và v :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u^2} - 2v = 6}\\{{u^2} = 4}\end{array}} \right.\)

Hệ này có hai nghiệm \((u ; v) = (2 ; -1)\) và \((u ; v) = (-2 ; -1)\). Do đó hệ phương trình đã cho tương đương với

Advertisements (Quảng cáo)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 2}\\{xy =  - 1}\end{array}} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y =  - 2}\\{xy =  - 1.}\end{array}} \right.\)

Giải hai hệ phương trình trên, ta được 4 nghiệm của hệ phương trình đã cho là

\(\begin{array}{l}\left( {1 + \sqrt 2 ;1 - \sqrt 2 } \right),\left( {1 - \sqrt 2 ;1 - \sqrt 2 } \right)\\\left( { - 1 + \sqrt 2 ; - 1 - \sqrt 2 } \right),\left( { - 1 + \sqrt 2 ; - 1 - \sqrt 2 } \right)\end{array}\)

b. Giả sử (x ; y) = (x0; y0) là nghiệm duy nhất của hệ. Do hệ phương trình đã cho là hệ phương trình đối xứng đối với các ẩn nên nó cũng có nghiệm là (x ; y) = (y0 ; x0). Từ tính duy nhất của hệ ta suy ra x0 = y0. Do đó

\(\eqalign{& \left\{ {\matrix{{x_0^2 + y_0^2 = 2\left( {{\rm{a}} + 1} \right)} \cr {{{\left( {{x_0} + {y_0}} \right)}^2} = 4} \cr} } \right. \cr & \Rightarrow \left\{ {\matrix{{2x_0^2 = 2\left( {{\rm{a}} + 1} \right)} \cr {4x_0^2 = 4} \cr} } \right. \Rightarrow a = 0. \cr} \)

Ngược lại, nếu a = 0 thì hệ trở thành \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} = 2}\\{{{\left( {{\rm{x}} + y} \right)}^2} = 4.}\end{array}} \right.\)

Tuy nhiên, hệ này có nghiệm không duy nhất (dễ thấy hai nghiệm nó là (1 ; 1) và (-1 ; -1). Vậy không có giá trị nào của a thỏa mãn điều kiện của đầu bài.

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn SBT Toán 10 Nâng cao (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây: