Câu 3.66 trang 69 SBT Toán Đại 10 Nâng cao: Bài tập Ôn tập chương III - Phương trình bậc nhất và bậc hai...

Cho hệ phương trình $\left\{ \matrix{{x^2} + {y^2} = 2\left( {a + 1} \right) \hfill \cr {\left( {x + y} \right)^2} = 4 \hfill \cr} \right.$

a. Giải hệ phương trình với a = 2.

b. Tìm các giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất.

a. Với a = 2, ta có hệ $\left\{ {\matrix{{{x^2} + {y^2} = 6} \cr {{{\left( {x + y} \right)}^2} = 4.} \cr} } \right.$

Đặt $u = x + y$ và $v = xy$, ta được hệ phương trình ẩn là u và v :

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u^2} - 2v = 6}\\{{u^2} = 4}\end{array}} \right.$

Hệ này có hai nghiệm $(u ; v) = (2 ; -1)$ và $(u ; v) = (-2 ; -1)$. Do đó hệ phương trình đã cho tương đương với

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 2}\\{xy =  - 1}\end{array}} \right.$ hoặc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y =  - 2}\\{xy =  - 1.}\end{array}} \right.$

Giải hai hệ phương trình trên, ta được 4 nghiệm của hệ phương trình đã cho là

$\begin{array}{l}\left( {1 + \sqrt 2 ;1 - \sqrt 2 } \right),\left( {1 - \sqrt 2 ;1 - \sqrt 2 } \right)\\\left( { - 1 + \sqrt 2 ; - 1 - \sqrt 2 } \right),\left( { - 1 + \sqrt 2 ; - 1 - \sqrt 2 } \right)\end{array}$

b. Giả sử (x ; y) = (x₀; y₀) là nghiệm duy nhất của hệ. Do hệ phương trình đã cho là hệ phương trình đối xứng đối với các ẩn nên nó cũng có nghiệm là (x ; y) = (y₀ ; x₀). Từ tính duy nhất của hệ ta suy ra x₀ = y₀. Do đó

$\eqalign{& \left\{ {\matrix{{x_0^2 + y_0^2 = 2\left( {{\rm{a}} + 1} \right)} \cr {{{\left( {{x_0} + {y_0}} \right)}^2} = 4} \cr} } \right. \cr & \Rightarrow \left\{ {\matrix{{2x_0^2 = 2\left( {{\rm{a}} + 1} \right)} \cr {4x_0^2 = 4} \cr} } \right. \Rightarrow a = 0. \cr}$

Ngược lại, nếu a = 0 thì hệ trở thành $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} = 2}\\{{{\left( {{\rm{x}} + y} \right)}^2} = 4.}\end{array}} \right.$

Tuy nhiên, hệ này có nghiệm không duy nhất (dễ thấy hai nghiệm nó là (1 ; 1) và (-1 ; -1). Vậy không có giá trị nào của a thỏa mãn điều kiện của đầu bài.