Advertisements (Quảng cáo)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để các bất phương trình sau vô nghiệm:
a) \(3{x^2} + mx + m + 2 < 0;\)
b) \(\left( {3 – m} \right){x^2} – 2\left( {2m – 5} \right)x – 2m + 5 > 0\).
a) Bất phương trình đã cho có hệ số \(a = 3 > 0\), để bất phương trình vô nghiệm, điều kiện cần và đủ là :
\(\begin{array}{l}\Delta = {m^2} – 12\left( {m + 2} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow {m^2} – 12m – 24 \le 0\\ \Leftrightarrow 6 – 2\sqrt {15} \le m \le 6 + 2\sqrt {15.} \end{array}\)
Advertisements (Quảng cáo)
b) Với \(m = 3\), khi đó bất phương trình trở thành \( – 2x – 1 > 0\) và bất phương trình có nghiệm là \(x < – \dfrac{1}{2}.\) Suy ra \(m = 3\) không thỏa mãn.
Với \(m \ne 3\). Để bất phương trình vô nghiệm điều kiện cần và đủ là:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3 – m < 0\\\Delta ‘ = {\left( {2m – 5} \right)^2} – \left( {3 – m} \right)\left( {5 – 2m} \right) < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 3\\2{m^2} – 9m + 10 < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 3\\2 < m < \dfrac{5}{2}.\end{array} \right.\end{array}\)
Suy ra không tồn tại m để bất phương trình đã cho vô nghiệm.