Câu 30 trang 242 SBT Toán Đại 10 Nâng cao: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để các bất phương trình sau vô nghiệm:...

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để các bất phương trình sau vô nghiệm:

a) $3{x^2} + mx + m + 2 < 0;$

b) $\left( {3 - m} \right){x^2} - 2\left( {2m - 5} \right)x - 2m + 5 > 0$.

a) Bất phương trình đã cho có hệ số $a = 3 > 0$, để bất phương trình vô nghiệm, điều kiện cần và đủ là :

$\begin{array}{l}\Delta  = {m^2} - 12\left( {m + 2} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 12m - 24 \le 0\\ \Leftrightarrow 6 - 2\sqrt {15}  \le m \le 6 + 2\sqrt {15.} \end{array}$

b) Với $m = 3$, khi đó bất phương trình trở thành $- 2x - 1 > 0$ và bất phương trình có nghiệm là $x <  - \dfrac{1}{2}.$ Suy ra $m = 3$ không thỏa mãn.

Với $m \ne 3$. Để bất phương trình vô nghiệm điều kiện cần và đủ là:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3 - m < 0\\\Delta ‘ = {\left( {2m - 5} \right)^2} - \left( {3 - m} \right)\left( {5 - 2m} \right) < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 3\\2{m^2} - 9m + 10 < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 3\\2 < m < \dfrac{5}{2}.\end{array} \right.\end{array}$

Suy ra không tồn tại m để bất phương trình đã cho vô nghiệm.