Advertisements (Quảng cáo)
Xét dấu các biểu thức sau :
a. \(\dfrac{1}{{3 – x}} – \dfrac{1}{{3 + {x}}}\)
b. \(\dfrac{{{{x}^2} – 6{x} + 8}}{{{x^2} + 8{x} – 9}}\)
c. \(\dfrac{{{{x}^2} + 4{x} + 4}}{{{x^4} – 2{{x}^2}}}\)
d. \(\dfrac{{\left| {x + 1} \right| – 1}}{{{x^2} + {x} + 1}}\)
:
a. Biến đổi biểu thức về dạng \(\dfrac{{2{x}}}{{\left( {3 – x} \right)\left( {3 + {x}} \right)}}.\) Học sinh tự lập bảng xét dấu. Kết quả được biểu thức dương khi \(x < -3\) hoặc \(0 < x < 3\) ; biểu thức âm khi \(-3 < x < 0\) hoặc \(x > 3.\)
b. \(\dfrac{{{{x}^2} – 6{x} + 8}}{{{x^2} + 8{x} – 9}} = \dfrac{{\left( {{x} – 2} \right)\left( {{x} – 4} \right)}}{{\left( {{x} – 1} \right)\left( {{x} + 9} \right)}}\). Lập bảng xét dấu sau :
Vậy \(\dfrac{{{{x}^2} – 6{\rm{x}} + 8}}{{{x^2} + 8{x} – 9}} < 0\) khi \(x \in \left( { – 9;1} \right) \cup \left( {2;4} \right)\)
\(\dfrac{{{{x}^2} – 6{x} + 8}}{{{x^2} + 8{x} – 9}} > 0\) khi \(x \in \left( { – \infty ; – 9} \right) \cup \left( {1;2} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\)
c. Biến đổi biểu thức về dạng \(\dfrac{{{{\left( {{\rm{x}} + 2} \right)}^2}}}{{{x^2}\left( {{{\rm{x}}^2} – 2} \right)}}.\) Từ đó, biểu thức đã cho sẽ dương khi \(x \in \left( { – \infty ; – 2} \right) \cup \left( { – 2; – \sqrt 2 } \right) \cup \left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\) và sẽ âm khi \(x \in \left( { – \sqrt 2 ;0} \right) \cup \left( {0;\sqrt 2 } \right).\)
d. Ta có
\(\dfrac{{\left| {x + 1} \right| – 1}}{{{x^2} + {x} + 1}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{x}}{{{x^2} + {x} + 1}}\,khi\,x \ge – 1}\\{\dfrac{{ – x – 2}}{{{x^2} + {x} + 1}}\,khi\,x < – 1}\end{array}} \right.\)
Dấu của biểu thức trên hoàn toàn phụ thuộc vào dấu của tử thức (vì \({x^2} + {x} + 1 > 0\) với mọi x). Vì vậy :
\({{\left| {x + 1} \right| – 1} \over {{x^2} + x + 1}} < 0\) khi \(x \in \left( { – 2;0} \right)\)
và \({{\left| {x + 1} \right| – 1} \over {{x^2} + x + 1}} > 0\) khi \(x \in \left( { – \infty ; – 2} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right).\)