Câu 4.43 trang 109 Sách BT Đại số 10 Nâng cao: Xét dấu các biểu thức sau :...

Xét dấu các biểu thức sau :

a. $\dfrac{1}{{3 - x}} - \dfrac{1}{{3 + {x}}}$

b. $\dfrac{{{{x}^2} - 6{x} + 8}}{{{x^2} + 8{x} - 9}}$

c. $\dfrac{{{{x}^2} + 4{x} + 4}}{{{x^4} - 2{{x}^2}}}$

d. $\dfrac{{\left| {x + 1} \right| - 1}}{{{x^2} + {x} + 1}}$

:

a. Biến đổi biểu thức về dạng $\dfrac{{2{x}}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + {x}} \right)}}.$ Học sinh tự lập bảng xét dấu. Kết quả được biểu thức dương khi $x < -3$ hoặc $0 < x < 3$ ; biểu thức âm khi $-3 < x < 0$ hoặc $x > 3.$

b. $\dfrac{{{{x}^2} - 6{x} + 8}}{{{x^2} + 8{x} - 9}} = \dfrac{{\left( {{x} - 2} \right)\left( {{x} - 4} \right)}}{{\left( {{x} - 1} \right)\left( {{x} + 9} \right)}}$. Lập bảng xét dấu sau :

Vậy $\dfrac{{{{x}^2} - 6{\rm{x}} + 8}}{{{x^2} + 8{x} - 9}} < 0$ khi $x \in \left( { - 9;1} \right) \cup \left( {2;4} \right)$

$\dfrac{{{{x}^2} - 6{x} + 8}}{{{x^2} + 8{x} - 9}} > 0$ khi $x \in \left( { - \infty ; - 9} \right) \cup \left( {1;2} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)$

c. Biến đổi biểu thức về dạng $\dfrac{{{{\left( {{\rm{x}} + 2} \right)}^2}}}{{{x^2}\left( {{{\rm{x}}^2} - 2} \right)}}.$ Từ đó, biểu thức đã cho sẽ dương khi $x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( { - 2; - \sqrt 2 } \right) \cup \left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right)$ và sẽ âm khi $x \in \left( { - \sqrt 2 ;0} \right) \cup \left( {0;\sqrt 2 } \right).$

d. Ta có

$\dfrac{{\left| {x + 1} \right| - 1}}{{{x^2} + {x} + 1}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{x}}{{{x^2} + {x} + 1}}\,khi\,x \ge  - 1}\\{\dfrac{{ - x - 2}}{{{x^2} + {x} + 1}}\,khi\,x <  - 1}\end{array}} \right.$

Dấu của biểu thức trên hoàn toàn phụ thuộc vào dấu của tử thức (vì ${x^2} + {x} + 1 > 0$ với mọi x). Vì vậy :

${{\left| {x + 1} \right| - 1} \over {{x^2} + x + 1}} < 0$ khi $x \in \left( { - 2;0} \right)$

và ${{\left| {x + 1} \right| - 1} \over {{x^2} + x + 1}} > 0$ khi $x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right).$