Bài 41 trang 127 SGK Đại số 10 nâng cao, Giải và biện luận các hệ bất phương trình...

Giải và biện luận các hệ bất phương trình

a) 

$\left\{ \matrix{ (x - \sqrt 5 )(\sqrt 7 - 2x) > 0 \hfill \cr x - m \le 0 \hfill \cr} \right.$

b)

$\left\{ \matrix{ {2 \over {x - 1}} < {5 \over {2x - 1}} \hfill \cr x - m \ge 0 \hfill \cr} \right.$

Đáp án

a) Ta có bảng xét dấu:

Vậy $(x - \sqrt 5 )(\sqrt 7  - 2x) > 0 \Leftrightarrow {{\sqrt 7 } \over 2} < x < \sqrt 5$

Ta có: ${S_1} = ({{\sqrt 7 } \over 2};\sqrt 5 )$

Bất phương trình thứ hai có nghiệm $x ≤ m$.

Ta có: ${S_2} = (-∞; m]$,

Do đó:

+ Nếu $m \le {{\sqrt 7 } \over 2}$ thì tập nghiệm là S = S₁ ∩ S₂ = Ø

+ Nếu ${{\sqrt 7 } \over 2} \le m < \sqrt 5$ thì tập nghiệm là $S = {S_1} \cap {S_2} = ({{\sqrt 7 } \over 2},m)$

+ Nếu $m \ge \sqrt 5$ thì tập nghiệm là $S = {S_1} \cap {S_2} = ({{\sqrt 7 } \over 2}\sqrt 5 )$

b) Ta có:

${2 \over {x - 1}} < {5 \over {2x - 1}} \Leftrightarrow {{2(2x - 1) - 5(x - 1)} \over {(x - 1)(2x - 1)}} < 0 \Leftrightarrow {{x - 3} \over {(x - 1)(2x - 1)}} > 0$

Bằng cách lập bảng xét dấu vế trái, ta có:

${2 \over {x - 1}} < {5 \over {2x - 1}} \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {1 \over 2} < x < 1 \hfill \cr x > 3 \hfill \cr} \right.$

Ta có: ${S_1} = ({1 \over 2};1) \cup (3, + \infty )$

Tập nghiệm của bất phương trình thứ hai là: S₂ = [m, +∞ )

Do đó:

+ Nếu $m \le {1 \over 2}$ thì tập nghiệm là  ${S_1} = ({1 \over 2};1) \cup (3, + \infty )$

+ Nếu ${1 \over 2} < m < 1$ thì tập nghiệm là $S = {\rm{[m, 1)}} \cup {\rm{(3, + }}\infty {\rm{)}}$

+ Nếu $1≤ m ≤ 3$ thì tập nghiệm là $S = (3, +∞ )$

+ Nếu $m > 3$ thì tập nghiệm là $S = [m; +∞ )$