Câu 4.42 trang 109 SBT Toán Đại 10 Nâng cao: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử rồi xét dấu mỗi đa thức ấy :...

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử rồi xét dấu mỗi đa thức ấy :

a. $9{{x}^2} - 1$

b. $- {x^3} + 7{x} - 6$

c. ${x^3} + {{x}^2} - 5{x} + 3$

d. ${x^2} - x - 2\sqrt 2$

:

a. $9{{x}^2} - 1 = \left( {3{x} + 1} \right)\left( {3{x} - 1} \right).$ Lập bảng xét dấu và nhận được $9{{x}^2} - 1 < 0$ khi $- \dfrac{1}{3} < x < \dfrac{1}{3};$ $9{{x}^2} - 1 > 0$ khi $x <  - \dfrac{1}{3}$ hoặc $x > \dfrac{1}{3}.$

b. $- {x^3} + 7{x} - 6 =  - \left( {{x} - 1} \right)\left( {{x} - 2} \right)\left( {{x} + 3} \right).$ Lập bảng xét dấu và nhận được

$- {x^3} + 7x - 6 < 0$ khi $- 3 < x < 1$ hoặc $x > 2;$

$- {x^3} + 7x - 6 > 0$ khi $x <  - 3$ hoặc $1 < x < 2.$

c.

${x^3} + {x^2} - 5x + 3 = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x + 3} \right)$

${x^3} + {x^2} - 5x + 3 < 0$ khi $x <  - 3;$ ${x^3} + {x^2} - 5x + 3 > 0$ khi $x >  - 3$ và $x \ne 1.$

d.

${x^2} - x - 2\sqrt 2  = \left( {x - {{1 - \sqrt {1 + 8\sqrt 2 } } \over 2}} \right)\left( {x - {{1 + \sqrt {1 + 8\sqrt 2 } } \over 2}} \right)$

${x^2} - x - 2\sqrt 2  < 0$ khi ${{1 - \sqrt {1 + 8\sqrt 2 } } \over 2} < x < {{1 + \sqrt {1 + 8\sqrt 2 } } \over 2};$

${x^2} - x - 2\sqrt 2  > 0$ khi $x < {{1 - \sqrt {1 + 8\sqrt 2 } } \over 2}$ hoặc $x > {{1 + \sqrt {1 + 8\sqrt 2 } } \over 2}.$