Câu 4.45 trang 109 SBT Toán Đại 10 Nâng cao: Bài 4. Dấu của nhị thức bậc nhất...

Giải các phương trình sau :

a. $\left| {5 + {x}} \right| + \left| {x - 3} \right| = 8$

b. $\left| {{x^2} - 5{x} + 6} \right| = {x^2} - 5{x} + 6$

c. $\left| {2{x} - 1} \right| = x + 2$

d. $\left| {x + 2} \right| + \left| {x - 1} \right| = 5$

:

a. Dựa vào tính chất $\left| a \right| + \left| b \right| = \left| {a - b} \right| \Leftrightarrow ab \le 0,$

và để ý rằng $\left( {5 + x} \right) - \left( {x - 3} \right) = 8$ ta có

$\begin{array}{l}\left| {5 + x} \right| +  \left| {x - 3} \right| = 8\\ \Leftrightarrow \left( {5 + x} \right)\left( {x - 3} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow  - 5 \le x \le 3.\end{array}$

Chú ý. Học sinh có thể giải bằng cách chia thành các khoảng để phá dấu giá trị tuyệt đối nhưng lời giải sẽ dài hơn.

b. Dựa vào tính chất $\left| a \right| = a \Leftrightarrow a \ge 0,$ ta có

$\eqalign{& \left| {{x^2} - 5x + 6} \right| = {x^2} - 5x + 6 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 \ge 0 \cr}$

$\Leftrightarrow x \le 2$ hoặc $x \ge 3.$

c. Ta có $\left| {2x - 1} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 1\,\,khi\,\,x \ge \dfrac{1}{2}}\\{1 - 2x\,\,khi\,\,x < \dfrac{1}{2}.}\end{array}} \right.$

Nếu $x \ge \dfrac{1}{2}$ thì $\left| {2x - 1} \right| = x + 2 \Leftrightarrow 2x - 1 = x + 2 \Leftrightarrow x = 3$ (thỏa mãn điều kiện $x \ge \dfrac{1}{2}$).

Nếu $x < \dfrac{1}{2}$ thì $\left| {2x - 1} \right| = x + 2 \Leftrightarrow 1 - 2x = x + 2 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{1}{3}$ (thỏa mãn điều kiện $x < \dfrac{1}{2}$).

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ { - \dfrac{1}{3};3} \right\}$

d. Tập nghiệm $S = \left\{ { - 3;2} \right\}.$