Câu 4.53 trang 111 Sách BT Đại số 10 Nâng cao: Xét dấu của các tam thức bậc hai :...

Xét dấu của các tam thức bậc hai :

a. $2{{ {x}}^2} + 2{ {x}} + 5$

b. $- {x^2} + 5{ {x}} - 6$

c. $2{{{x}}^2} + 2{ {x}}\sqrt 2  + 1$

d. $- 4{{ {x}}^2} - 4{ {x}} + 1$

e. $\sqrt 3 {x^2} + \left( {\sqrt 3  + 1} \right)x + 1$

f. ${x^2} + \left( {\sqrt 5  - 1} \right)x - \sqrt 5$

g. $- 0,3{{ {x}}^2} + { {x}} - 1,5$

h. ${x^2} - \left( {\sqrt 7  - 1} \right)x + \sqrt 3$.

:

a. Tam thức đã cho có $a = 2 > 0$ và biệt thức $∆’ = 1 – 10 = -9 < 0,$ nên tam thức luôn dương.

b. Tam thức đã cho có $a = -1$ và biệt thức $∆ = 1 > 0,$ và có hai nghiệm ${x_1} = 2,{x_2} = 3.$ Suy ra tam thức dương trong khoảng $(2 ; 3)$ và âm trong các khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)$ và $\,\left( {3; + \infty } \right).$

c. Tam thức đã cho có $a = 2$, biệt thức $∆ = 0$ nên tam thức dương với mọi $x \ne  - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.$

d. Tam thức đã cho có $a = -4;$ biệt thức $∆’ = 8 > 0$ và có hai nghiệm ${x_1} =  - \dfrac{{1 + \sqrt 2 }}{2},{x_2} = \dfrac{{\sqrt 2  - 1}}{2},$ nên tam thức dương trong khoảng $\left( { - \dfrac{{1 + \sqrt 2 }}{2};\dfrac{{\sqrt 2  - 1}}{2}} \right)$ và âm trong các khoảng $\left( { - \infty ; - \dfrac{{1 + \sqrt 2 }}{2}} \right)$ và $\,\left( {\dfrac{{\sqrt 2  - 1}}{2}; + \infty } \right)$

e. Tam thức đã cho có $a = \sqrt 3$ và biệt thức $\Delta  = {\left( {\sqrt 3  + 1} \right)^2} - 4\sqrt 3  = {\left( {\sqrt 3  - 1} \right)^2} > 0,$ tam thức có hai nghiệm ${x_1} =  - 1,{x_2} =  - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}.$ Suy ra tam thức dương trong các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right),\left( {\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }}; + \infty } \right)$ và âm trong khoảng $\left( { - 1;\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }}} \right).$

Chú ý. Nhận xét $a – b + c = 0$ nên tam thức có hai nghiệm

${x_1} =  - 1,{x_2} =  - \dfrac{c}{a} =  - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}.$

Từ đó áp dụng định lí về dấu tam thức.

f. Tam thức có $a = 1$ và $a + b + c = 0$, nên tam thức có hai nghiệm

${x_1} =  - \sqrt 5 ,{x_2} = 1.$

Suy ra tam thức luôn dương trong các khoảng $\left( { - \infty ; - \sqrt 5 } \right),\left( {1; + \infty } \right)$ và âm trong khoảng $\left( { - \sqrt 5 ;1} \right).$

g. Tam thức đã cho có $a = -0,3 < 0$, biệt thức $∆ = -0,8 < 0,$ nên tam thức luôn âm với mọi $x$.

h. Tam thức đã cho có $a = 1,$

$\begin{array}{l}\Delta  = {\left( {\sqrt 7  - 1} \right)^2} - 4\sqrt 3  = 8 - 2\sqrt 7  - 4\sqrt 3 \\ = 2\left( {2 - \sqrt 7 } \right) + 4\left( {1 - \sqrt 3 } \right) < 0.\end{array}$

Nên tam thức luôn dương với mọi $x$.